Ασκήσεις στην ευθεία

JimVerman · #1

1) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $\varepsilon$ που διέρχεται από το σημείο $M\left ( 2,\frac{5}{3} \right )$ και τέμνει τις ευθείες $\varepsilon _{1}: \; y=\frac{x}{2}-1$ και $\varepsilon _{2}: \; y=3x+7$ στα

και

αντίστοιχα έτσι ώστε το

να χωρίζει εσωτερικά το τμήμα

σε λόγο $\frac{AM}{MB}=2$ .

2) Ευθεία $\left ( \epsilon \right )$ διέρχεται από το $M\left ( 1,1 \right )$ και τέμνει τους θετικούς ημιάξονες

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το άθροισμα $\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}$ είναι σταθερό.

3) Να βρείτε σημείο

του άξονα

του οποίου το άθροισμα των αποστάσεων του από τα σημεία $A\left ( 1,-4 \right )$ και $B\left ( 7,8 \right )$ είναι ελάχιστο.

Edit: Συμπλήρωση εκφώνησης

Γιώργος Απόκης · #2

JimVerman έγραψε: 3) Να βρείτε σημείο του άξονα του οποίου το άθροισμα των αποστάσεων του από τα σημεία $A\left ( 1,-4 \right )$ και $B\left ( 7,8 \right )$ είναι ελάχιστο.

Για την 3)

Αν M(x,0)

, τότε από την τριγωνική ανισότητα ισχύει : $(MA)+(MB)\geq (AB)$ με την ισότητα να ισχύει όταν τα M,A,B

είναι συνευθειακά.

Επομένως, το ζητούμενο σημείο είναι το σημείο τομής της

με τον άξονα x'x

.

Είναι : $\displaystyle{\lambda_{AB}=\frac{8+4}{7-1}=\frac{12}{6}=2}$ άρα $(AB):y-8=2(x-7)\Rightarrow y=2x-6$ . Εύκολα βρίσκουμε ότι M(3,0)

.

Χάρης Γ.Λ. · #3

Καλησπέρα

2) Ευθεία $\left ( \epsilon \right )$ διέρχεται από το $M\left ( 1,1 \right )$ και τέμνει τους θετικούς ημιάξονες

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το άθροισμα $\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}$ είναι σταθερό.

Η ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ που διέρχεται από το σημείο Μ θα έχει εξίσωση $\displaystyle{\left( \varepsilon \right):\psi - 1 = \lambda \left( {x - 1} \right)}$ με $\displaystyle{\lambda < 0}$ .
Θα τέμνει τον ημιάξονα $\displaystyle{{\rm O}\psi }$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm B}\left( {0,1 - \lambda } \right)}$ που προκύπτει αν θέσουμε στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ $\displaystyle{x = 0}$ και τον ημιάξονα $\displaystyle{Ox}$ στο σημείο $\displaystyle{A\left( {\frac{{\lambda - 1}}{\lambda },0} \right)}$ που προκύπτει αν θέσουμε στην $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ $\displaystyle{y = 0}$ . Τότε $\displaystyle{{\rm O}{\rm A} = \frac{{\lambda - 1}}{\lambda }}$ και $\displaystyle{{\rm O}{\rm B} = 1 - \lambda }$ .

$\displaystyle{\frac{1}{{{\rm O}{\rm A}}} + \frac{1}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{1}{{\frac{{\lambda - 1}}{\lambda }}} + \frac{1}{{1 - \lambda }} = \frac{\lambda }{{\lambda - 1}} - \frac{1}{{\lambda - 1}} = \frac{{\lambda - 1}}{{\lambda - 1}} = 1}$

ελπίζοντας να μην έχω κάνει κάποια λάθος πράξη ....

KARKAR · #4

: Ευθείες.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές

Είναι φανερό γιατί δεν απαντήθηκε το 1) : Τα νούμερα είναι "ενοχλητικά " !

Από το

λοιπόν διέρχεται η ευθεία x=2

, η οποία προφανώς δεν είναι λύση , και για κάθε

πραγματικό $\lambda$ , και η $\displaystyle y-\frac{5}{3}=\lambda (x-2)$ . Η ευθεία αυτή τέμνει τις δοθείσες στα σημεία

και

,

των οποίων οι συντεταγμένες εκφράζονται συναρτήσει του $\lambda$ . Με εξίσου ρουτινιάρικη

διαδικασία η σχέση (AM)=2(MB)

, δίνει εν τέλει τις συντεταγμένες που φαίνονται στο σχήμα ...

Ασκήσεις στην ευθεία

Ασκήσεις στην ευθεία

Re: Ασκήσεις στην ευθεία

Re: Ασκήσεις στην ευθεία

Re: Ασκήσεις στην ευθεία

Μέλη σε σύνδεση