Τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

#1

Ο Καθηγητής των μαθηματικών κύριος Δ.Ι. έβαλε στο τμήμα του ένα τεστ με άριστα το 100 . Την ώρα που ο καθηγητής καταχωρούσε τη βαθμολογία(στα 100) στον υπολογιστή του , μπορούσε να παρακολουθεί κάθε στιγμή στην άκρη της οθόνης του τη μέση βαθμολογία(μέσο όρο) των ήδη καταχωρισμένων βαθμών. Την στιγμή που καταχώρισε τη βαθμολογία της Ελένης, παρατήρησε ότι ο μέσος όρος αυξήθηκε κατά

μονάδα.Αμέσως μετά καταχώρισε το βαθμό του Στέργιου και παρατήρησε ότι ο μέσος όρος ανέβηκε ακόμα κατά μία μονάδα. Αν η Ελένη πήρε στο τεστ

, τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Μπάμπης

Γιώργος Απόκης · #2

Όμορφο πρόβλημα!

Έστω ότι είχαν περαστεί (πριν την Ελένη και το Στέργιο) οι βαθμοί

μαθητών με άθροισμα

. Τότε, η αρχική μέση τιμή είναι $\displaystyle{\bar x_1=\frac{S}{k}}$ .

Μετά την Ελένη, η μέση τιμή είναι : $\displaystyle{\bar x_2=\frac{S+90}{k+1}}$ και μετά το Στέργιο είναι : $\displaystyle{\bar x_3=\frac{S+90+a}{k+2}}$ όπου

ο βαθμός του.

Ισχύει : $\displaystyle{\bar x_2=\bar x_1 +1 ~~\acute{\eta}~~ \frac{S+90}{k+1}=\frac{S}{k}+1 ~~\acute{\eta}~~ \frac{S+90}{k+1}=\frac{S+k}{k} ~~\acute{\eta}~~k(S+90)=(S+k)(k+1)}$

$\displaystyle{ ~~\acute{\eta}~~kS+90k=kS+S+k^2+k ~~\acute{\eta}~~ S=89k-k^2}$ (1)

Επίσης : $\displaystyle{\bar x_3=\bar x_1 +2 ~~\acute{\eta}~~ \frac{S+90+a}{k+2}=\frac{S}{k}+2 ~~\acute{\eta}~~ \frac{S+90+a}{k+2}=\frac{S+2k}{k} ~~\acute{\eta}~~k(S+90+a)=(S+2k)(k+2)}$

$\displaystyle{ ~~\acute{\eta}~~kS+90k+ak=kS+2S+2k^2+4k ~~\acute{\eta}~~ 2k^2-86k-ak+2S=0}$ . Aντικαθιστούμε το

από την (1):

$\displaystyle{2k^2-86k-ak+2(89k-k^2)=0 ~~\acute{\eta}~~ 2k^2-86k-ak+178k-2k^2=0 ~~\acute{\eta}~~ (92-a)k=0 ~~\acute{\eta}~~ \color{red}a=92}$ (αφού $k \ne 0$ )

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ο Καθηγητής των μαθηματικών κύριος Δ.Ι. έβαλε στο τμήμα του ένα τεστ με άριστα το 100 . Την ώρα που ο καθηγητής καταχωρούσε τη βαθμολογία(στα 100) στον υπολογιστή του , μπορούσε να παρακολουθεί κάθε στιγμή στην άκρη της οθόνης του τη μέση βαθμολογία(μέσο όρο) των ήδη καταχωρισμένων βαθμών. Την στιγμή που καταχώρισε τη βαθμολογία της Ελένης, παρατήρησε ότι ο μέσος όρος αυξήθηκε κατά μονάδα.Αμέσως μετά καταχώρισε το βαθμό του Στέργιου και παρατήρησε ότι ο μέσος όρος ανέβηκε ακόμα κατά μία μονάδα. Αν η Ελένη πήρε στο τεστ , τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Αλλιώς: Έστω

το πλήθος των μαθητών και

ο μέσος όρος τους πριν την Ελένη. Η προσθήκη της Ελένης μας δίνει την εξίσωση Nm+90 = (N+1)(m+1)

από όπου

.

Αν

ο βαθμός του Στέργιου, η προσθήκη του Στέργιου στους N+1

μαθητές (μαζί με την Ελένη), δίνει (N+1)(m+1) +s=(N+2)(m+2)

. Ανοίγοντας παρενθέσεις έχουμε s= N+m+3=89+3=92

.

M.

stergios7 · #4

Αν και το πρόβλημα έλεγε για μαθητές και το απάντησαν καθηγητές θα δώσω μια δικία μου λύση γιατί με λένε Στέργιο.
$\displaystyle{M=\frac{A}{m}}$
Όταν η Ελένη γράφει $\displaystyle{90}$ τότε ο $\displaystyle{M}$ αυξάνει σε $\displaystyle{M+1}$ ενώ οι μαθητές αυξάνουν σε $\displaystyle{m+1}$ .
Άρα $\displaystyle{M+1=\frac{A+90}{m+1}}$ ή
$\displaystyle{(M+1).(m+1)=A+90}$ ή
$\displaystyle{M(m+1)+1(m+1)=A+90}$ ή
$\displaystyle{M.m+M+m+1=A+90}$
Άρα $\displaystyle{M+m+1=90}$ .
Παρατηρώ ότι ο βαθμός της Ελένης, όταν αυξήθηκε ο Μ.Ο. κατά 1, ο βαθμός της ισούται με M.O.+ τους μαθητές +1.
Άρα ο βαθμός του Στέργιου΄ισούται με: $\displaystyle{(M+1)+(m+1)+1=M+1+m+2=90+2=92}$
ΦΙΛΙΚΑ (Στέργιος Ρουμελιώτης Ά Γυμνασίου)

#5

stergios7 έγραψε:Αν και το πρόβλημα έλεγε για μαθητές και το απάντησαν καθηγητές θα δώσω μια δικία μου λύση γιατί με λένε Στέργιο.
.......................................
Άρα $\displaystyle{M+m+1=90}$ .
Παρατηρώ ότι ο βαθμός της Ελένης, όταν αυξήθηκε ο Μ.Ο. κατά 1, ο βαθμός της ισούται με M.O.+ τους μαθητές +1.
Άρα ο βαθμός του Στέργιου΄ισούται με: $\displaystyle{(M+1)+(m+1)+1=M+1+m+2=90+2=92}$
ΦΙΛΙΚΑ (Στέργιος Ρουμελιώτης Ά Γυμνασίου)

Ωραία παρατήρηση και αυτή, μια και ο βαθμός του Στέργιου αύξησε και αυτός το μέσο όρο κατά

!

Στέργιε, παίρνεις 100 στα 100

κι ας πήρε

ο συνονόματός σου του προβλήματος !!!

Μπάμπης

michmak · #6

Στέργιο συγχαρητήρια!!! Νομίζω μπορούμε να συνεχίσουμε τη σκέψη σου ώστε να βγάλουμε ένα τύπο ανεξάρτητο από το βαθμό της Ελένης αλλά και την αύξηση ή τη μείωση του Μ.Ο.!!!!

Έστω ότι τοποθετούμε τις βαθμολογίες των γραπτών σε μια σειρά οπότε έχουμε μια ακολουθία τιμών που τη συμβολίζουμε με $a_{n}$ . Τότε η ακολουθία των Μ.Ο. θα δίνεται από τον τύπο $M_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}}{n}$ .

H αύξηση (ή η μείωση) του Μ.Ο. αν τη συμβολίσουμε με μ θα είναι: $\displaystyle{\mu =M_{n+1}-M_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}+a_{n+1}}{n+1}-\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}}{n}=\frac{n\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}+na_{n+1}-\left(n+1 \right)\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}}{n\left(n+1 \right)}=\frac{1}{n+1}\left(a_{n+1}-\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}}{n} \right)=\frac{a_{n+1}-M_n}{n+1}}$

Σε αυτόν τον τύπο το μ είναι η αύξηση (ή μείωση) του Μ.Ο. η οποία προκαλείται από την "προσθήκη" ενός ακόμη γραπτού (στα ήδη υπάρχοντα n) που έχει βαθμολογία $\displaystyle{a_{n+1}}$ . Αναλόγως αν αυτή είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από τον ήδη υπάρχοντα Μ.Ο. θα προκληθεί θετικό ή αρνητικό, αντίστοιχα πρόσημο που δηλώνει την αύξηση ή τη μείωση.

Μιχάλης Μακρίδης

Τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Re: Τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Re: Τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Re: Τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Re: Τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Re: Τι βαθμό πήρε ο Στέργιος ;

Μέλη σε σύνδεση