Συνάρτηση σε πρώτους....

#1

Έστω

το σύνολο των πρώτων 2009

πρώτων αριθμών και

το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών με πρώτους παράγοντες μόνο από το

Προσδιορίστε όλους τους φυσικούς αριθμούς

για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση $f : X \to X$ τέτοια ώστε για κάθε $m, n \in X$ να ισχύει η σχέση f(mf(n)) = f(m)n^k.

#2

Επαναφέρω αυτό το όμορφο πρόβλημα! Enjoy it!

Παναγιώτης 1729 · #3

Για

με

φυσικό μπορούμε να πάρουμε π.χ. την f(x)=x^l

. Θα δείξουμε ότι αν υπάρχει λύση για κάποιο

τότε αυτό είναι τέλειο τετράγωνο. Είναι f(f(m)f(n))=f(f(m))n^k=f(f(n))m^k

, άρα

για κάποιο ρητό

. Άρα,

. Η

προφανώς είναι 1-1, άρα f(mn)=f(m)f(n)

. Αυτή σε συνδυασμό με την αρχική δίνει f(f(n))=n^k

. Αν $p\in{P}$ , τότε f(f(p))=p^k

και αφού $f(p)\in{P}$ , πρέπει (λόγω της πολλαπλασιαστικότητας της

)

με $q\in{P}$ πρώτο. Είναι f(q^l)=f(f(p))=p^k

, άρα

. Επειδή ο 2009

είναι περιττός δεν μπορεί τα ζεύγη (p,q)

που σχηματίζονται να έχουν πρώτους διαφορετικούς πάντα ανά δύο. Άρα, f(p)=p^s

για κάποιο $p\in{P}$ , οπότε από εδώ εύκολα προκύπτει k=s^2

.

#4

Παναγιώτης 1729 · #5

Έγινε μία διόρθωση στο τελείωμα.

#6