30-15-45 μοίρες, ύψος, διάμεσος (Α.47)

parmenides51 · #1

Το περιοδικό ''Μαθηματική Παιδεία'' κυκλοφόρησε σε 5 τεύχη. Οι προτεινόμενες του ασκήσεις των τεσσάρων πρώτων τευχών λύθηκαν στο 4ο και 5ο τεύχος του.
Οι προτεινόμενες ασκήσεις του 5ου και τελευταίου τεύχους παρέμειναν άλυτες. Σκέφτηκα πως θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο να λυθούν και να συγκεντρωθούν οι λύσεις αυτών. Συνολικά έχει 3 άλυτες στην Α' Λυκείου (Α.47-49), 8 άλυτες στην Β' Λυκείου (Β.39-46) και 25 άλυτες στην Γ' Λυκείου (Γ.201 -225).
Ξεκινάω να τις προτείνω λίγες λίγες .

Μαθηματική Παιδεία (#5) Α.47.

Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{\widehat{B}=30^o}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma}=15^o}$ .
Αν $\displaystyle{A\Delta}$ είναι ύψος και $\displaystyle{AM}$ διάμεσος του, να δείξετε ότι $\displaystyle{\widehat{\Delta AM}=45^o}$ .

Μ.Στεργίου

edit
τυπογραφικά

Ιστοσελίδα · #2

Καλημέρα και χρόνια πολλά. Πιθανολογώ πως την έχουμε δει ξανά.

: 30-15-45-μοίρες,-ύψος,-διάμεσος-(Α.47).png (21.32 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Αν $\Gamma {\rm E} \bot {\rm B}{\rm A}$ τότε σχηματίζονται το ισοσκελές $\triangle {\rm M}{\rm B}{\rm E}\left( {{{120}^ \circ }{{,30}^ \circ }{{,30}^ \circ }} \right)$ , το ισόπλευρο $\triangle {\rm M}{\rm E}\Gamma$ , το ορθογώνιο και ισοσκελές $\triangle {\rm E}{\rm A}\Gamma$ και το ισοσκελές $\triangle {\rm E}{\rm A}{\rm M}\left( {{{30}^ \circ }{{,75}^ \circ }{{,75}^ \circ }} \right)$ .

Από την ευθεία γωνία ${\rm B}\widehat {\rm A}{\rm E}:\,{60^ \circ } + \Delta \widehat {\rm A}{\rm M} + {75^ \circ } = {180^ \circ } \Rightarrow \Delta \widehat {\rm A}{\rm M} = {45^ \circ }$ .

KARKAR · #3

Μια λύση εκτός φακέλου , αλλά η ποικιλία αρέσει (!) :

: A.47.png (5.91 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Επειδή $\sigma \phi 30^0=\sqrt{3}$ και $\sigma \phi 15^0=2+\sqrt{3}$ παίρνω : $BD=\upsilon \sqrt{3}$ και $DC=\upsilon(2+ \sqrt{3})$ .

Αλλά BD+x=DC-x

, οπότε $\upsilon \sqrt{3}+x=2\upsilon +\upsilon \sqrt{3}-x$ δηλαδή : $2x=2\upsilon\Leftrightarrow x=\upsilon$

parmenides51 · #4

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Πιθανολογώ πως την έχουμε δει ξανά.

έχεις δίκιο, 3η φορά που την λύνεις

μεταμφιεσμένη εδώ κι εδώ

30-15-45 μοίρες, ύψος, διάμεσος (Α.47)

30-15-45 μοίρες, ύψος, διάμεσος (Α.47)

Re: 30-15-45 μοίρες, ύψος, διάμεσος (Α.47)

Re: 30-15-45 μοίρες, ύψος, διάμεσος (Α.47)

Re: 30-15-45 μοίρες, ύψος, διάμεσος (Α.47)

Μέλη σε σύνδεση