Σημεία και επίπεδα

#1

Στο χώρο δίνονται 24 σημεία. Τρία οποιαδήποτε από αυτά ορίζουν επίπεδο και είναι γνωστό ότι με αυτόν τον τρόπο ορίζονται ακριβώς 2002

διαφορετικά επίπεδα.
Δείξτε ότι υπάρχει επίπεδο που περιέχει τουλάχιστον

από αυτά τα σημεία.

#2

Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει. Ας γράψουμε n_3

για τον αριθμό των επιπέδων που έχουν ακριβώς τρία από τα σημεία, n_4

για τον αριθμό των επιπέδων που έχουν ακριβώς τέσσερα από τα σημεία και n_5

για τον αριθμό των επιπέδων που έχουν ακριβώς πέντε από τα σημεία. Τότε

$n_3 + n_4 + n_5 = 2002 \quad (1)$

Θα μετρήσουμε τώρα όλες τις τριάδες σημείων με δύο διαφορετικούς τρόπους. Σίγουρα αφού έχουμε

σημεία ο αριθμός των τριάδων είναι $\binom{24}{3} = 2024$ . Από την άλλη, επειδή κάθε τριάδα ανήκει σε ακριβώς ένα επίπεδο και κάθε επίπεδο έχει $\binom{3}{3} = 1, \binom{4}{3} = 4$ ή $\binom{5}{3} = 10$ τριάδες ανάλογα αν περιέχει ακριβώς 3,4

ή

σημεία αντίστοιχα ο αριθμός των τριάδων ισούται με

$\displaystyle{ n_3 + 4n_4 + 10n_5 = 2024 \quad (2)}$

Από τις (1) και (2) λαμβάνουμε ότι 3(n_4 + 3n_5) = 22

το οποίο είναι άτοπο. Άρα πρέπει να υπάρχει επίπεδο που να περιέχει τουλάχιστον έξι σημεία.

[Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να δειχθεί ότι υπάρχει επίπεδο που να περιέχει ακριβώς έξι σημεία.]

Σημεία και επίπεδα

Σημεία και επίπεδα

Re: Σημεία και επίπεδα

Μέλη σε σύνδεση