Μη επικαλυπτόμενοι κύκλοι

petros r · #1

α) Δύο κύκλοι $S_{1}$ και $S_{2}$ τοποθετούνται έτσι ώστε να μην επικαλύπτει ο ένας τον άλλον ολοκληρωτικά ούτε μερικώς.Τα αντίστοιχα κέντρα είναι τα $O_{1}$ και $O_{2}$ . Επιπλέον τα $L_{1}$ και $M_{1}$ είναι διαφορετικά σημεία στον $S_{1}$ τέτοια ώστε το $O_{2}L_{1}$ και το $O_{2}M_{1}$ να εφάπτεται στον κύκλο $S_{1}$ . Αντοίστιχα ορίζονται τα $L_{2}$ και $M_{2}$ στον κύκλο $S_{2}$ . Δείξτε οτι υπάρχει μοναδικός κύκλος που είναι εφαπτόμενος στα τέσσερα τμήματα $O_{2}L_{1}$ , $O_{2}M_{1}$ , $O_{1}L_{2}$ , $O_{1}M_{2}$

β)Τέσσερις κύκλοι τοποθετούνται έτσι ώστε να μην καλύπτει ο ένας τον άλλον ολοκληρωτικά αλλά ούτε μερικώς. Τα αντίστοιχα κέντρα είναι τα $O_{1}$ , $O_{2}$ , $0_{3}$ , $O_{4}$ . Για κάθε ζεύγος $(S_{i},S_{j})$ κύκλων με $1\leq{i}<j\leq{4}$ , βρίσκουμαι έναν κύκλο $S_{ij}$ όπως στο ερώτημα α. Αυτός ο κύκλος έχει ακτίνα $R_{ij}$ . Δείξτε ότι $\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_{23}}+\frac{1}{R_{34}}+\frac{1}{R_{14}}=2(\frac{1}{R_{13}}+\frac{1}{R_{24}})$

#2

1. Το τετράπλευρο O_1TO_2P

είναι περιγράψιμμο σε κύκλο, -ο οποίος κύκλος είναι ο ζητούμενος, και, ως γνωστό, είναι μοναδικός-, αφού από τα ίσα τρίγωνα O_1TO_2, O_1PO_2

προκύπτει:

O_1P+O_2T=O_1T+O_2P

2. Για την ακτίνα $r_{12}$ θα δείξω ότι $\frac{1}{r_{12}}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}$ . Από αυτή και τις παρόμοιες σχέσεις που δίνουν τις άλλες ακτίνες, η απόδειξη ανάγεται σε απλή επαλήθευση.

Πράγματι, το κέντρο

, λόγω συμμετρίας, βρίσκεται επί της O_1O_2

και ακόμα η

είναι διχοτόμος της γωνίας O_1TO_2

, οπότε

$\frac{O_1K}{KO_2}=\frac{O_1T}{TO_2}$

Από τα όμοια τρίγωνα O_1L_1T, O_2L_2T

παίρνω $\frac{r_1}{r_2}=\frac{O_1T}{TO_2}$ και άρα $\frac{O_1K}{KO_2}=\frac{r_1}{r_2}$

Τώρα, από τα όμοια τρίγωνα O_1O_2L_2, O_1KL

έχω:

$\frac{r_{2}}{r_{12}}=\frac{O_1O_2}{O_1K}=\frac{O_1K+KO_2}{O_1K}=1+\frac{KO_2}{O_1K}=1+\frac{r_2}{r_1}\Rightarrow \frac{1}{r_{12}}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}$ ,

και η απόδειξη τελείωσε.

Μη επικαλυπτόμενοι κύκλοι

Μη επικαλυπτόμενοι κύκλοι

Re: Μη επικαλυπτόμενοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση