Παραβολή

erxmer · #1

Δίνεται η παραβολή y^2=2px, p>0

και τα σημεία της A(x_1,y_1)

,

που ορίζονται απο την ευθεία $y=m(x-\frac{p}{2})$ . Aυτή σχηματίζει με τον άξονα xx'

γωνία $\phi$ .

1) Nα εκφράσετε τα x_1+x_2, x_1x_2

ως συνάρτηση των p, m

2) Nα αποδειχθεί οτι $AB \cdot sin^2(\phi)=2p$

3) Απο την εστία της παραβολής φέρουμε ευθεία κάθετη στην $y=m(x-\frac{p}{2})$ , η οποία τέμνει την καμπύλη στα M(x_3,y_3), N(x_4,y_4)

. Να αποδειχθεί η σχέση
$\displaystyle{\frac{1}{AB}+\frac{1}{MN}=\frac{1}{2p}}$

kostaskyritsis · #2

1. Οι συντεταγμένες των

και

ικανοποιούν την εξίσωση της παραβολής και της ευθείας (που προφανώς διέρχεται από την εστία).
Άρα οι τετμημένες των

και

είναι οι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle m^2x^2-p(m^2+2)x+\frac{m^2p^2}{4}=0$ .
Από τους τύπους Vietta $\displaystyle x_1+x_2=p(1+\frac{2}{m^2})$ και $x_1x_2=\frac{p^2}{4}$

2. $y_1=\sqrt{2px_1}$ , $y_2=-\sqrt{2px_2}$ οπότε

$AB^2=(x_1-x_2)^2+(\sqrt{2px_1}+\sqrt{2px_2})^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+2p(x_1+x_2)+4p\sqrt{x_1x_2}$
$\displaystyle =...=4p^2(1+\frac{1}{m^2})=4p^2 \cdot ({\frac{1}{sin\phi})^4$

3. H

όπως και η

είναι ευθεία που διέρχεται από την εστία και σχηματίζει γωνία $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}+\phi$ ή $\displaystyle \theta=\phi-\frac{\pi}{2}$ . Σε κάθε περίπτωση $sin^2\phi=cos^2\theta$
Έτσι $\displaystyle \frac{1}{AB}+\frac{1}{MN}=\frac{sin^2\phi}{2p}+\frac{sin^2\theta}{2p}=\frac{1}{2p}$

Παραβολή

Παραβολή

Re: Παραβολή

Μέλη σε σύνδεση