Που πήγε το ακρότατο;

acdc · #1

Επανέρχομαι , (συγνώμη για την εμφάνιση του κειμένου).Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = {2^{\ln x}} + {2^{1 - x}}$ να βρεθούν τα ακρότατα της

. Αν ο θεματοδότης δεν έκανε λάθος στο πρόσημο τότε έχουμε τ.ελάχιστο για x = 1

και ένα τ.μέγιστο που ανήκει στο διάστημα $\left( {0,\frac{{1 - \ln 2}}{{\ln 2}}} \right)$ . Το πρόβλημα είναι ότι δεν μπορώ να προσδιορίσω το σημείο αυτό (για να το βρώ έφτασα στην Lambert..) μήπως κάτι μου διαφεύγει;

Γιώργος Απόκης · #2

Πράγματι, όπως έχεις ήδη βρει, η συνάρτηση έχει παράγωγο $\displaystyle{f'(x)=\ln 2\left(\frac{2^{\ln x}}{x}-2^{1-x}\right)}$

που μηδενίζεται για $\displaystyle{x=1}$ και για κάποιο $\displaystyle{x}$ στο διάστημα που αναφέρεις.

Υπάρχει δυσκολία στο να αποδείξουμε ότι οι ρίζες είναι μοναδικές αφού έχουμε $\displaystyle{f''(x)=\frac{2^{-x}\ln 2}{x^2}\left(-2^{x+\ln x}+2^{x+\ln x}\ln 2+2x^2\ln 2\right)}$

που δεν έχει σταθερό πρόσημο. Μια γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ επιβεβαιώνει (αλλά δεν αποδεικνύει) αυτά που έχεις βρει...

Που πήγε το ακρότατο;

Που πήγε το ακρότατο;

Re: Που πήγε το ακρότατο;

Μέλη σε σύνδεση