Θέμα 2ο (μιγαδικοί)

erxmer · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w

για τους οποίους ισχύει η σχέση $\displaystyle{w=z-10+\frac{4i}{\bar{z}} \,\,,z \neq 0}$ . Aν η εικόνα του μιγαδικού

στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας

1) Να αποδείξετε οτι $|w+10|=2\sqrt{2}$

2) Nα βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w_1, z_1

για τους οποίους το |z-w|

γίνεται ελάχιστο, καθώς και την ελάχιστη τιμή του μέτρου

3) Αν το μιγαδικός αριθμός v=w_1-2z_1+6

είναι λύση της εξίσωσης x^2+ax+b=0

, να βρεθούν οι αριθμοί
a,b

4) Να εξεταστεί αν ισχύει η σχέση $\displaystyle{v^{2016}-(4+v)^{2016}=0}$

#2

...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα με μία προσπάθεια στο Θέμα 2....

1) Επειδή ισχύει ότι $\left| z \right|=2\Leftrightarrow z\bar{z}=4\Leftrightarrow z=\frac{4}{{\bar{z}}}$ θα είναι και

$w=z-10+iz\Leftrightarrow w+10=(1+i)z$ άρα και $\left| w+10 \right|=\left| 1+i \right|\left| z \right|=2\sqrt{2}$

2) Είναι $\left| z-w \right|=\left| z-z+10-iz \right|=\left| 10-iz \right|$ και με z=x+yi

θα έχουμε ότι

$\left| z-w \right|=\left| 10-ix+y \right|=\sqrt{{{(y+10)}^{2}}+{{x}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+20y+100}$ και επειδή είναι

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ θα είναι $\left| z-w \right|=\sqrt{4+20y+100}=2\sqrt{5y+26}$

Τώρα επειδή $-2\le y\le 2$ αφού ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ η ποσότητα 5y+26

γίνεται ελάχιστη για την μικρότερη τιμή του y=-2

άρα

${{\left| z-w \right|}_{\min }}=2\sqrt{5(-2)+26}=8$ έτσι ${{z}_{1}}=-2i$ αφού ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ και αντίστοιχα

${{w}_{1}}=-2i-10+i(-2i)=-8-2i$

3) Είναι τώρα ο u=-8-2i+4i+6=-2+2i

ρίζα της ${{x}^{2}}+\alpha x+b=0$ (αν $\alpha ,b$ είναι πραγματικοί...)

θα έχει ρίζα και την $\bar{u}=-2-2i$ και από τύπους Vietta θα είναι $u+\bar{u}=-\alpha \Leftrightarrow \alpha =4$ και $u\bar{u}=b\Leftrightarrow 8=b$

(αν $\alpha ,\,b$ δεν είναι πραγματικοί... θα ισχύει ότι ${{(-2+2i)}^{2}}+\alpha (-2+2i)+b=0$ με $\alpha =\kappa +\lambda i,\,\,\,b=\mu +\nu i,\,\,\,\kappa ,\lambda ,\mu ,\nu \in R$ πραξεις.....)

4) Είναι ${{u}^{2016}}-{{(4+u)}^{2016}}={{(-2+2i)}^{2016}}-{{(2+2i)}^{2016}}={{u}^{2016}}-{{(iu)}^{2016}}=$

$={{u}^{2016}}(1-{{i}^{2016}})={{u}^{2016}}(1-{{i}^{0}})=0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Μια διαφορετική προσέγγιση για το 2.

Έχουμε ότι $z-w=10-iz \Rightarrow (z-w)i=z+10i \Rightarrow |z-w|=|z+10i|=MK (I)$ ,

αν

είναι η εικόνα του μιγαδικού

στο μιγαδικό επίπεδο και K(0,-10)

σημείο του μιγαδικού επιπέδου.

Συνεπώς το |z-w|

γίνεται ελάχιστο, όταν το

γίνεται ελάχιστο, δηλαδή όταν MK=KO-2=10-2=8

,

που σημαίνει ότι M(0,-2)

, άρα

και

.

#4

$\displaystyle{|z-0|=2\Rightarrow 4/\bar{z}=z\Rightarrow |w+10|=|z(1+i)|=2\sqrt{2}}$

$\displaystyle{|z-0|=2\Rightarrow 4/\bar{z}=z\Rightarrow w-z=-10+iz\Rightarrow|w-z|=|i(z+10i)|=|z+10i|}$ αρα το ΜΙΝ μετρο είναι το 8 και υφίσταται όταν $\displaystyle{z_1=-2i,w_1=z_1-10+iz_1=-2i-8}$

τότε $\displaystyle{v=-2+2i}$ οπότε ΑΝ $\displaystyle{ A,B\inR}$ η άλλη ρίζα του τριωνύμου είναι η $\displaystyle{-2-2i}$ συνεπώς $\displaystyle{a=4,b=8}$

Ακόμη $\displaystyle{4+v=2(1+i),v=-2(1+i)}$ αρα η δεδομένη ισχύει
(για τις μικροδιαφορές)

b.nikos · #5

Μήπως θα μπορούσε κάποιος να παραθέσει και ένα σχήμα για το 2; Θα ήταν αρκετά χρήσιμο.

Γιώργος Απόκης · #6

b.nikos έγραψε:Μήπως θα μπορούσε κάποιος να παραθέσει και ένα σχήμα για το 2; Θα ήταν αρκετά χρήσιμο.

Θέμα 2ο (μιγαδικοί)

Θέμα 2ο (μιγαδικοί)

Re: Θέμα 2ο (μιγαδικοί)

Re: Θέμα 2ο (μιγαδικοί)

Re: Θέμα 2ο (μιγαδικοί)

Re: Θέμα 2ο (μιγαδικοί)

Re: Θέμα 2ο (μιγαδικοί)

Μέλη σε σύνδεση