SEEMOUS 2013/4

#1

Ανεπίσημα από εδώ.

Έστω

ένας $2 \times 2$ πίνακας με ρητά στοιχεία ώστε να υπάρχει φυσικός $n \neq 0$ με A^n = -I

. Να αποδειχθεί ότι είτε A^2 = - I

είτε

.

Ilias_Zad · #2

To ελάχιστο πολυώνυμο

είναι το πολύ δευτέρου βαθμού και διαιρεί το $x^n+1=\frac{x^{2n}-1}{x^n-1}$ που είναι το γινόμενο των ανάγωγων στο Q[x]

,

, με $d|2n , d \not | n$ ( F_d

κυκλοτομικό τάξης

).

Άρα είναι κυκλοτομικό βαθμού το πολύ 2 και άρα ένα από τα x+1,x^2-x+1,x^2+1,x^2+x+1

( πρέπει αν

η τάξη, $\phi(d) \leq 2$ ) .

Τα 2 πρώτα δίνουν A^3=-I

και το τρίτο A^2=-I

.

Το τέταρτο όμως A^3=I

και αν πάρουμε το υπόλοιπο του

με το

, έστω

, πρέπει να είναι μη μηδενικό και επίσης -I=A^n=A^v

, με

ή

. Σε κάθε περίπτωση είμαστε οκ.

Nick1990 · #3

Αυτο ηταν το 4ο