ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

FERMA · #1

1)Η πρώτη απορία προκύπτει από ένα ερώτημα στο οποίο είχαμε μια κυρτή συνάρτηση και έπρεπε να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν 3 συνευθειακά σημεία σε αυτή. Εγώ όπως είναι λογικό είπα ότι η $y=k,k\in R$ τέμνει την f το πολύ σε δύο σημεία αφού είναι κυρτή. Ο καθηγητής μας έδειξε την παρακάτω λύση για την οποία έχω κάποιες αμφιβολίες.
Θεώρησε ότι υπάρχουν αυτά τα σημεία οπότε f(x1)=f(x2)=f(x3)

. Συνεπώς με rolle στα προφανή διαστήματα κατέληξε σε άτοπο αφού η δεύτερη παράγωγος είναι θετική.
Η ερώτηση μου τώρα είναι , δεν πρέπει να αποκλείσουμε και την περίπτωση που είναι συνευθεικα σε ευθεία της μορφής y=ax +b

στην οποία προφανώς δεν ισχύει το f(x1)=f(x2)=f(x3)

?? Άρα μήπως η απόδειξη δεν είναι ολοκληρωμένη..?

2) Αν $f(0)=0, f'(0)=1, \int_{0}^{1}{f(x)e^-^x dx}=1$ να βρείτε τον τύπο της στο [0,1]. Αυτό με δυσκόλεψε και θα ήθελα να δω κάποιες λύσεις αν γίνεται.

Ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων

#2

Για το πρώτο: Ναι, χρειάζεται να εξεταστεί η γενική περίπτωση.

Για το δεύτερο: Αν θέλεις γράψε ποια ακριβώς δεδομένα δίνει η εκφώνηση. Π.χ. παραγωγίσιμη σε όλο το $\displaystyle{[0,1]}$ ;

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #3

FERMA έγραψε:1)Η πρώτη απορία προκύπτει από ένα ερώτημα στο οποίο είχαμε μια κυρτή συνάρτηση και έπρεπε να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν 3 συνευθειακά σημεία σε αυτή. Εγώ όπως είναι λογικό είπα ότι η $y=k,k\in R$ τέμνει την f το πολύ σε δύο σημεία αφού είναι κυρτή. Ο καθηγητής μας έδειξε την παρακάτω λύση για την οποία έχω κάποιες αμφιβολίες.
Θεώρησε ότι υπάρχουν αυτά τα σημεία οπότε . Συνεπώς με rolle στα προφανή διαστήματα κατέληξε σε άτοπο αφού η δεύτερη παράγωγος είναι θετική.
Η ερώτηση μου τώρα είναι , δεν πρέπει να αποκλείσουμε και την περίπτωση που είναι συνευθεικα σε ευθεία της μορφής στην οποία προφανώς δεν ισχύει το ?? Άρα μήπως η απόδειξη δεν είναι ολοκληρωμένη..?

2) Αν $f(0)=0, f'(0)=1, \int_{0}^{1}{f(x)e^-^x dx}=1$ να βρείτε τον τύπο της στο [0,1]. Αυτό με δυσκόλεψε και θα ήθελα να δω κάποιες λύσεις αν γίνεται.

Ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων

Για το πρώτο : πρεπει να γίνει διερευνηση τι ειδους ευθεία τέμνει την γραφική παράσταση (Αν είναι πλάγια ή οριζόντια ) Οπότε εχει γίνει η απόδειξη για την οριζόντια (δεδομένου οτι $x_1 \neq x_2 \neq x_3$ )
και λείπει η απόδειξη για την πλάγια
Είναι σε παρόμοιο στύλ θεωρώντας $x_1 \neq x_2 \neq x_3$ και
f(x_1)-ax_1-b=f(x_2)-ax_2-b=f(x_3)-ax_2-b

και για την g(x) =f(x) - ax -b

Θ. Rolle στα προφανή διαστηματα

kostas_zervos · #4

Για το (α) σωστή η παρατήρησή σου.
Αν η τα σημεία $A(x_1,f(x_1))\;,\;A(x_2,f(x_2))\;,\;A(x_3,f(x_3))$ με x_1<x_2<x_3

είναι συνευθειακά και ανήκουν στην ευθεία y=ax+b

, τότε

,

και

.
Εφαρμόζουμε ΘΜΤ στα $[x_1,x_2]\;,\;[x_2,x_3]$ και βρίσκουμε ότι υπάρχουν $x_1<\xi_1<x_2<\xi_2<x_3$ ώστε $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=a$ που είναι άτοπο γιατί η

είναι γνησίως αύξουσα , αφού η

είναι κυρτή.
Λάθος επίση είναι το ότι επειδή η είναι κυρτή , π.χ. η είναι κυρτή αλλά η μηδενίζεται στο .. Το αντίστροφο ισχύει . Αν f''(x)>0

στο εσωτερικό ενός διαστήματος στο οποίο η

είναι συνεχής , τότε η

είναι κυρτή.

FERMA · #5

f παραγωγίσιμη στο R με πεδίο ορισμού το R και $f(x)\geq xe^2^x$ για κάθε χ στο R

FERMA · #6

Σας ευχαριστώ όλους για την άμεση ανταπόκριση.

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε: Για το πρώτο : πρεπει να γίνει διερευνηση τι ειδους ευθεία τέμνει την γραφική παράσταση (Αν είναι πλάγια ή οριζόντια ) Οπότε εχει γίνει η απόδειξη για την οριζόντια (δεδομένου οτι $x_1 \neq x_2 \neq x_3$ )
και λείπει η απόδειξει για την πλάγια
Είναι σε παρόμοιο στύλ θεωρώντας $x_1 \neq x_2 \neq x_3$ και
και για την
Θ. Rolle στα προφανή διαστηματα

Πολύ ωραία η λύση για την πλάγια!!!!!

#7

FERMA έγραψε:f παραγωγίσιμη στο R με πεδίο ορισμού το R και $f(x)\geq xe^2^x$ για κάθε χ στο R

Κάτι δε πάει καλά. Τα $\displaystyle{f(0)=0,f'(0)=1}$ δε χρειάζονται.

Θεώρησε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)e^{-x}-xe^x.}$

Λόγω της συνθήκης που αναφέρεις είναι $\displaystyle{g(x)\geq 0~\forall x\in [0,1].}$

Όμως

$\displaystyle{\rm \int_{0}^{1}g(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)e^{-x}dx-\int_{0}^{1}xe^xdx=1-1=0.}$

Άρα

$\displaystyle{g(x)=0~\forall x\in [0,1],}$

οπότε η $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[0,1]}$ είναι η $\displaystyle{f(x)=xe^{2x}.}$

FERMA · #8

matha έγραψε:
FERMA έγραψε:f παραγωγίσιμη στο R με πεδίο ορισμού το R και $f(x)\geq xe^2^x$ για κάθε χ στο R
Κάτι δε πάει καλά. Τα $\displaystyle{f(0)=0,f'(0)=1}$ δε χρειάζονται.

Θεώρησε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)e^{-x}-xe^x.}$

Λόγω της συνθήκης που αναφέρεις είναι $\displaystyle{g(x)\geq 0~\forall x\in [0,1].}$

Όμως

$\displaystyle{\rm \int_{0}^{1}g(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)e^{-x}dx-\int_{0}^{1}xe^xdx=1-1=0.}$

Άρα

$\displaystyle{g(x)=0~\forall x\in [0,1],}$

οπότε η $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[0,1]}$ είναι η $\displaystyle{f(x)=xe^{2x}.}$

FERMA · #9

FERMA έγραψε:
matha έγραψε:
FERMA έγραψε:f παραγωγίσιμη στο R με πεδίο ορισμού το R και $f(x)\geq xe^2^x$ για κάθε χ στο R
Κάτι δε πάει καλά. Τα $\displaystyle{f(0)=0,f'(0)=1}$ δε χρειάζονται.

Θεώρησε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)e^{-x}-xe^x.}$

Λόγω της συνθήκης που αναφέρεις είναι $\displaystyle{g(x)\geq 0~\forall x\in [0,1].}$

Όμως

$\displaystyle{\rm \int_{0}^{1}g(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)e^{-x}dx-\int_{0}^{1}xe^xdx=1-1=0.}$

Άρα

$\displaystyle{g(x)=0~\forall x\in [0,1],}$

οπότε η $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[0,1]}$ είναι η $\displaystyle{f(x)=xe^{2x}.}$

Τι δεν πάει καλά? Η λύση σας είναι ολόσωστη.

ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Re: ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Re: ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Re: ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Re: ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Re: ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Re: ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Re: ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Re: ΑΠΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Μέλη σε σύνδεση