με ασύμπτωτη

Ιστοσελίδα · #1

Καλησπέρα στην παρέα.
Δεν ξέρω αν την έχουμε ξαναδεί, μου μοιάζει οικία μπορεί και σχολική, πάντως η αναζήτηση της ασύμπτωτης στο τελευταίο ερώτημα αρκετά ενδιαφέρουσα, όπου αν πας να βρεις τα σχετικά $\lambda$ και $\beta$ για τον υπολογισμό της σκοντάφτεις.

Για μια συνάρτηση

ορισμένη και παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, ισχύει $f(x)-{{e}^{-f(x)}}=x-1$ για κάθε

πραγματικό αριθμό και f(0)=0

Γ1. Να εκφράστε την παράγωγο {f}'(x)

ως συνάρτηση της f(x)

Γ2. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το πρόσημο της
f(x)

για κάθε

πραγματικό αριθμό.
Γ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι κυρτή στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Γ4. Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0

ισχύει: $\frac{x}{2}<f(x)<x\cdot {f}'(x)<x$ .
Γ5. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης

στο $+\infty$

kostas_zervos · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Antonis Loutraris · #3

Καλησπέρα και καλή ανάσταση σε όλους!

Aφήνω τα πρώτα ερωτήματα να απαντηθούν από μαθητές για εξάσκηση.

Στο ωραίο ερώτημα Γ.5 μπορούμε να δούμε από το Γ.4 ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$

αφού $\displaystyle{f(x)>\frac{x}{2}, x>0}$ .

Για τη πλάγια ασύμπτωτη της $\displaystyle{C_{f}}$ στο $\displaystyle{+\infty}$ μετασχηματίζουμε την δοσμένη σχέση:

$\displaystyle{f(x)-(x-1)=e^{-f(x)}}$ και παίρνοντας όρια στο $\displaystyle{+\infty}$ έχουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(f(x)-(x-1))=0}$ και κατά προέκταση η $\displaystyle{y=x-1}$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $\displaystyle{C_{f}}$ στο $\displaystyle{+\infty.}$

Antonis Loutraris · #4

Mε πρόλαβε στη στροφή ο Κώστας..

Antonis Loutraris · #5

Στο ίδιο ύφος της παραπάνω άσκησης η ακόλουθη από το εξαιρετικό βιβλίο του Γιάννη Μπαιλάκη:

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)>0,x\in\mathbb{R}}$ για την οποία:

$\displaystyle{e^{f(x)}+lnf(x)=x+e,x\in\mathbb{R}.}$
Δείξτε ότι:
Δ.1. $\displaystyle{f(0)=1}$
Δ.2. $\displaystyle{ lnx<x<e^{x}}$ για κάθε $\displaystyle{x>0.}$
Δ.3. Βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f.}$
Δ.4. Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle{C_{f}}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$ συναρτήσει του $\displaystyle{f(1).}$

#6

Antonis Loutraris έγραψε:Στο ίδιο ύφος της παραπάνω άσκησης η ακόλουθη από το εξαιρετικό βιβλίο του Γιάννη Μπαιλάκη:

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)>0,x\in\mathbb{R}}$ για την οποία:

$\displaystyle{e^{f(x)}+lnf(x)=x+e,x\in\mathbb{R}.}$
Δείξτε ότι:
Δ.1. $\displaystyle{f(0)=1}$
Δ.2. $\displaystyle{ lnx<x<e^{x}}$ για κάθε $\displaystyle{x>0.}$
Δ.3. Βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f.}$
Δ.4. Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle{C_{f}}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$ συναρτήσει του $\displaystyle{f(1).}$

Νομίζω ενδιαφέρον θα είχε αν στο θέμα αυτό, όπως και στο αρχικό που έθεσε ο Σπύρος δινόταν μόνο η συνέχεια της
και να ζητείται η παραγωγισιμότητά της και φυσικά όλα τα υπόλοιπα ερωτήματα.

Στάθης

Antonis Loutraris · #7

Ναι βέβαια, για τη μονοτονία της $\displaystyle{f.}$

Ας το αφήσουμε για άσκηση..

#8

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Antonis Loutraris έγραψε:Στο ίδιο ύφος της παραπάνω άσκησης η ακόλουθη από το εξαιρετικό βιβλίο του Γιάννη Μπαιλάκη:

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)>0,x\in\mathbb{R}}$ για την οποία:

$\displaystyle{e^{f(x)}+lnf(x)=x+e,x\in\mathbb{R}.}$
Δείξτε ότι:
Δ.1. $\displaystyle{f(0)=1}$
Δ.2. $\displaystyle{ lnx<x<e^{x}}$ για κάθε $\displaystyle{x>0.}$
Δ.3. Βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f.}$
Δ.4. Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle{C_{f}}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$ συναρτήσει του $\displaystyle{f(1).}$
Νομίζω ενδιαφέρον θα είχε αν στο θέμα αυτό, όπως και στο αρχικό που έθεσε ο Σπύρος δινόταν μόνο η συνέχεια της
και να ζητείται η παραγωγισιμότητά της και φυσικά όλα τα υπόλοιπα ερωτήματα.

Στάθης

Θα δείξω ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Έστω ότι υπάρχουν ${x_1},{x_2} \in R$ με ${x_1} < {x_2}$ ώστε $f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \xrightarrow{{{e^t}\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha }}{e^{f\left( {{x_1}} \right)}} \geqslant {e^{f\left( {{x_2}} \right)}} \hfill \\ \xrightarrow{{\ln t\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha }}\ln f\left( {{x_1}} \right) \geqslant \ln f\left( {{x_2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\mathop \Rightarrow \limits^ + {e^{f\left( {{x_1}} \right)}} + \ln f\left( {{x_1}} \right) \geqslant {e^{f\left( {{x_2}} \right)}} + \ln f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow$ ${x_1} + e \geqslant {x_2} + e \Rightarrow {x_1} \geqslant {x_2}$ πράγμα άτοπο αφού υποθέσαμε ότι ${x_1} < {x_2}$ .

Με ${e^{f\left( x \right)}} > f\left( x \right) > \ln f\left( x \right) \Rightarrow {e^{f\left( x \right)}} + \ln f\left( x \right) > 2\ln f\left( x \right) \Rightarrow$ $x + e > 2\ln f\left( x \right) \Rightarrow 0 < f\left( x \right) < {e^{\frac{{x + e}}{2}}}$

και με $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 0 = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^{\frac{{x + e}}{2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm K}\rho \iota \tau \eta \rho \iota o\,\,\Pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \eta \varsigma } \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0}$ και από ${e^{f\left( x \right)}} > f\left( x \right) > \ln f\left( x \right) \Rightarrow {e^{f\left( x \right)}} + {e^{f\left( x \right)}} > {e^{f\left( x \right)}} + \ln f\left( x \right) \Rightarrow$

$2{e^{f\left( x \right)}} > x + e \Rightarrow {e^{f\left( x \right)}} > \frac{{x + e}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{x > 0}$ $f\left( x \right) > \ln \left( {\frac{{x + e}}{2}} \right)\mathop > \limits^{x > 0 \Rightarrow \frac{{x + e}}{2} > \frac{e}{2} > 1} 0 \Rightarrow \boxed{0 < \frac{1}{{f\left( x \right)}} < \frac{1}{{\ln \left( {\frac{{x + e}}{2}} \right)}}}$ .

Με $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln \left( {\frac{{x + e}}{2}} \right)\mathop = \limits^{u = \frac{{x + e}}{2} \Rightarrow \left( {x \to + \infty \Rightarrow u \to + \infty } \right)} \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \ln u = + \infty \Rightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\ln \left( {\frac{{x + e}}{2}} \right)}} = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0$ $\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) > 0} \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty }$ .

Έτσι με συνεχή και γνησίως αύξουσα στο θα είναι $f\left( R \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)} \right) = \left( {0, + \infty } \right)$ και συνεπώς η αντίστροφή της

είναι η συνάρτηση ${f^{ - 1}}\left( x \right) = {e^x} + \ln x - e,x \in \left( {0, + \infty } \right)$ η οποία είναι προφανώς παραγωγίσιμη με ${\left( {{f^{ - 1}}} \right)^\prime }\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{x} > 0,x \in \left( {0, + \infty } \right)$ , άρα ${\left( {{f^{ - 1}}} \right)^\prime }\left( x \right) \ne 0$ .

και συνεπώς και η είναι παραγωγίσιμη (το "καθρέφτισμα" της ομαλής (παραγωγίσιμης) αντίστροφής της ως προς την ευθεία με ${\left( {{f^{ - 1}}} \right)^\prime }\left( x \right) \ne 0$ ).

και με ${f^{ - 1}}\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \boxed{f\left( 0 \right) = 1}$ . Είναι $\ln x \leqslant x - 1 < x < x + 1 \leqslant {e^x}$ γνωστές σχολικές προτάσεις οφειλόμενες στην κυρτότητα και την κυλότητα των συναρτήσεων ${e^x},\ln x$ αντίστοιχα.

Δ.4) Από ${e^{f\left( x \right)}} + \ln f\left( x \right) = x + e \Rightarrow {e^{f\left( x \right)}} \cdot f'\left( x \right) + \left( {\ln f\left( x \right)} \right) \cdot f'\left( x \right) = \left( {x + e} \right) \cdot f'\left( x \right) \Rightarrow$

$\int\limits_0^1 {{e^{f\left( x \right)}} \cdot f'\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {\ln f\left( x \right)} \right) \cdot f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {x + e} \right) \cdot f'\left( x \right)dx} \Rightarrow$

$\boxed{\left[ {{e^{f\left( x \right)}}} \right]_0^1 + \int\limits_0^1 {\left( {\ln f\left( x \right)} \right) \cdot f'\left( x \right)dx} = \left[ {\left( {x + e} \right)f\left( x \right)} \right]_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} }:\left( 1 \right)$ .

Είναι $\int\limits_0^1 {\left( {\ln f\left( x \right)} \right) \cdot f'\left( x \right)dx}$ $\mathop = \limits^{u = f\left( x \right) \Rightarrow du = f'\left( x \right)dx,x = 0 \Rightarrow u = f\left( 0 \right) = 1,x = 1 \Rightarrow u = f\left( 1 \right)} \int\limits_1^{f\left( 1 \right)} {\ln udu} =$ $\ldots \left[ {u\ln u - u} \right]_1^{f\left( 1 \right)} = f\left( 1 \right)\ln f\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) + 1$

και με $f\left( x \right) > 0,\forall x \in R \supset \left[ {0,1} \right] \Rightarrow E = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$ (με το ζητούμενο εμβαδόν)

οπότε από την $\left( 1 \right)$ έχουμε: ${e^{f\left( 1 \right)}} - e + f\left( 1 \right)\ln f\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) + 1 = \left( {e + 1} \right)f\left( 1 \right) - e - E \Rightarrow$ $\boxed{E = \ldots }$ και όλα τα ζητούμενα έχουν βρεθεί.

Στάθης

με ασύμπτωτη

με ασύμπτωτη

Re: με ασύμπτωτη

Re: με ασύμπτωτη

Re: με ασύμπτωτη

Re: με ασύμπτωτη

Re: με ασύμπτωτη

Re: με ασύμπτωτη

Re: με ασύμπτωτη

Μέλη σε σύνδεση