Ασύμβατη υπόθεση - Αυτοσχεδιάστε ασύμβατα....

[pana1333]

Καλησπέρα. Ανοίγει ο δρόμος για τα νέα μαθηματικά για μια νέα εποχή ίσως και εμείς εκεί.......

Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές και . Θεωρούμε επίσης την ασύμβατη υπόθεση . Να δείξετε ότι το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς ισούται με το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Από το πυθαγόρειο θεώρημα...ισχύει αυτό κανονικά....έχουμε

Πόσα τέτοια θέματα θα μπορούσαμε να φτιάξουμε.....(;).....Αυτοσχεδιάστε ελεύθερα, ασύμβατα και δυναμικά........

[Γιώργος Απόκης]

Καλημέρα Χρήστο!

Αν είναι οι πραγματικές ρίζες του τριωνύμου , να αποδείξετε ότι

[kostas_zervos]

Αφού συγκεντρώνουμε ενδιαφέρουσες ασκήσεις θα δώσω και εγώ μία.

Αν , τότε να αποδειχτεί ότι συνημίτονο μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητικός.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Είναι

[Demetres]

Και ένα παράδειγμα το οποίο αποδίδεται στον Bertrand Russell:

Όταν είπε πως από την υπόθεση μπορούσε να αποδείξει ότιδήποτε ήθελε, κάποιος του ζήτησε να αποδείξει πως είναι ο Πάπας. Απάντησε ως εξής: «Προσθέτοντας 1 και στις δύο πλευρές έχω . Θεωρώ το σύνολο με στοιχεία τον εαυτό μου και τον Πάπα. Αφού το σύνολο έχει ακριβώς ένα στοιχείο και επομένως εγώ και ο Πάπας είμαστε ακριβώ το ίδιο πρόσωπο.»

[sokratis lyras]

Και ένα παράδειγμα το οποίο αποδίδεται στον Bertrand Russell:

Όταν είπε πως από την υπόθεση μπορούσε να αποδείξει ότιδήποτε ήθελε, κάποιος του ζήτησε να αποδείξει πως είναι ο Πάπας. Απάντησε ως εξής: «Προσθέτοντας 1 και στις δύο πλευρές έχω . Θεωρώ το σύνολο με στοιχεία τον εαυτό μου και τον Πάπα. Αφού το σύνολο έχει ακριβώς ένα στοιχείο και επομένως εγώ και ο Πάπας είμαστε ακριβώ το ίδιο πρόσωπο.»

Απίθανο

[s.kap]

Το θέμα της εμφάνισης στις εξετάσεις θεμάτων με ψευδείς υποθέσεις δεν είναι καινούργιο... έχει "ιστορικό βάθος". 'Όπως ιστορικό βάθος έχουν και οι ανόητες και αντιεπιστημονικές δικαιολογίες του τύπου των "ασυμβάτων υποθέσεων", που παραπέμπουν σε φτηνές δικαιολογίες σοφιστικού τύπου, αντί μιας, ως θα όφειλε, γενναίας παραδοχής του σφάλματος.
Ο Γιάννης Θωμαιδης στο περιοδικό Απολλώνιος (4 τεύχος, σελ. 28-48) κάνει μια εξαιρετική ανάλυση του θέματος με αναφορές στις αντίστοιχες περιπτώσεις. Για όσους δεν έχουν πρόσβαση στο άρθρο αυτό αναφέρω ότι η πρώτη φορά που εμφανίστηκε στις εξετάσεις τέτοια "ασύμβατη υπόθεση"
(ποιος είναι άραγε ο εμπνευστής αυτής του όρου-απάτη;) ήταν to 1947 στις εισαγωγικές εξετάσεις για το Μαθηματικό Αθηνών στο μάθημα της Τριγωνομετρίας.
Το θέμα υπέθετε ύπαρξη τριγώνου στο οποίο ισχύει η ισότητα
Το θέμα αυτό έγινε αιτία για έναν διάλογο ανάμεσα στον Α. Πάλλα, που υποστήριζε κάτι ανάλογο με την ασύμβατη υπόθεση και τον Θ. Βαρόπουλο, η τελική απάντηση του οποίου, αρκετά δηκτική, είναι πολύ ενδιαφέρουσα και την παραθέτω (παρμένη από το παραπάνω άρθρο)
"Ο σχηματισμός προβλημάτων, οίον το αναφερόμενον, γίνεται αν ο κατασκευάζων ταύτα έχει δύο προσόντα
α) θέλει να παραπείση
β) έχει το προσόν της αγνοίας
Πολλάκις δε δια να καλύψη το δεύτερον ισχυρίζεται ότι χρησιμοποιεί το πρώτον"

[S.E.Louridas]

Προφανώς και συμφωνώ απολύτως με τον Σπύρο Καπελλίδη.

Ας δούμε το εξής πρόβλημα (αν χαρακτηριστεί σαν τέτοιο):

Δίνεται τρίγωνο τέτοιο που αποδείξτε ότι η κορυφή ανήκει στην ευθεία που ορίζεται από το περίκεντρο του τριγώνου αυτού και το ίχνος του ύψους του που άγεται από την κορυφή στην .

Αν υποθέσουμε ότι πάμε ως λύτες για τεκμηρίωση της αλήθειας της συνεπαγωγής όταν και : "η κορυφή ανήκει στην ευθεία που ορίζεται από το περίκεντρο του τριγώνου αυτού και το ίχνος του ύψους που άγεται από την κορυφή στην " και ο Μαθητής Λύτης απαντήσει:

«Αφού η είναι ψευδής πρόταση πράγματι η συνεπαγωγή είναι αληθής πρόταση, δηλαδή ισχύει»,
δεν θα πρέπει να πάρει πλήρη βαθμολογία; Οι οδηγίες βαθμολόγησης δεν θα πρέπει να καλύπτουν και τέτοιου τύπου απάντηση;

Όταν όμως ο θεματοδότης σκεφτεί μέσα του: Οι εξεταζόμενοι δεν έχουν επαφή με τέτοια πράγματα άρα θα πρέπει να κτίσουν την λύση βήμα-βήμα από την συγκεκριμένη υπόθεση έως το συγκεκριμένο συμπέρασμα (σχήμα με κύκλο, χρήση γνωστού θεωρήματος …) τότε η ηθική του εγχειρήματος τίθεται υπό αμφισβήτηση (καλώς ή κακώς).


(*) Ας επιχειρηθεί να λυθεί το πρόβλημα αυτό (Δίνεται τρίγωνο τέτοιο που αποδείξτε ότι η κορυφή ανήκει στην ευθεία που ορίζεται από το περίκεντρο του τριγώνου αυτού και το ίχνος του ύψους του που άγεται από την κορυφή στην ) πλήρως με βάση την πιθανή πονηρή σκέψη του θεματολόγου (σχήμα με κύκλο, χρήση γνωστού θεωρήματος …) και θα διαπυστωθεί οτι πράγματι το εγχείρημα έχει το ενδιαφέρον του.