ΣΔΕ - περαιτέρω γενίκευση

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχής, $f(\xi)=0$ , γιά κάποιο $\xi\in\mathbb R$ καί

$\displaystyle{ \sup_{|x-\xi|>0}\frac{|f(x)-f(\xi)|}{|x-\xi|} \,<\, \infty. }$

Ἄν ἡ $\varphi :\mathbb R\to\mathbb R$ ἱκανοποιεῖ τά ἀκόλουθα

$\displaystyle{ \varphi(0)=\xi \quad \&\quad \varphi'(t) = f\big(\varphi(t)\big), }$

διά κάθε $t\in\mathbb R$ , τότε δείξατε ὅτι $\varphi(t)=\xi$ , διά κάθε $t\in\mathbb R$ .

Bern · #2

Ξερεις ότι υπάρχει $0< \lambda < \infty$ ώστε $|f(x)|\leq \lambda |x-\xi|$ για κάθε

. Άρα, $|\varphi'(t)|\leq \lambda |\varphi(t)-\xi|$ για κάθε

.

Τότε, φθάνεις στην (κλασική) άσκηση που λέει:

Άσκηση. Έστω $g:[a,b]\to \mathbb R$ παραγωγίσιμη στο [a,b]

με

και $|g'|\leq \lambda |g|$ . Τότε, $g\equiv 0$ .

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να το δείξεις αυτό. Ας γράψω δυο στα γρήγορα:

(α) Εξαντλείς το διάστημα [a,b]

από διαστήματα μήκους $< 1/\lambda$ : Έστω $N\in \mathbb N$ ώστε $\lambda/N<1$ . Τότε, αν $x\in [a,a+1/N]$ από το ΘΜΤ παίρνεις $x_1\in (a,x)$ ώστε $|g(x)|=(x-a)|g'(x_1)|\leq \lambda (x-a) |g(x_1)| \leq \frac{\lambda}{N}|g(x_1)|$ . Συνεχίζοντας με το ίδιο τρόπο βρίσκεις ακολουθία $x>x_1>\ldots>x_n>\ldots a$ ώστε $|g(x)|\leq (\lambda/N)^k |g(x_k)|$ για $k=1,2,\ldots$ . Άρα, g(x)=0

για κάθε $x\in [a,a+1/N]$ . Πας και στο πιο δίπλα διάστημα και κάνεις τα ίδια.

(β) Αλλιώς: Έστω $x\in [a,b]$ . Ολοκληρώνοντας βρίσκεις $\displaystyle |g(x)|\leq \lambda \int_a^x |g|$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle G(x):=\int_a^x|g|, \, x\in [a,b]$ . Τότε, έχεις $G'(x)\leq \lambda G(x)$ που σημαίνει ότι η $x\mapsto G(x)e^{-\lambda G(x)}$ είναι φθίνουσα, μη αρνητική εξ ορισμού και G(a)=0

. Άρα, $G\equiv 0$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Σωστά!

ΣΔΕ - περαιτέρω γενίκευση

ΣΔΕ - περαιτέρω γενίκευση

Re: ΣΔΕ - περαιτέρω γενίκευση

Re: ΣΔΕ - περαιτέρω γενίκευση

Μέλη σε σύνδεση