Μια με ίχνος πίνακα

pito · #1

Έστω ο

ένας πίνακας 2x2

. Να δείξετε ότι υπάρχουν 2 πίνακες B,C

τέτοιοι ώστε A=BC-CB

αν και μόνο αν το ίχνος του πίνακα

είναι μηδέν.

#2

Καλημέρα Μυρτώ. Νομίζω κλασσική άσκηση γρ. άλγεβρας.

ΕΔΩ υπάρχει μία
εκτεταμένη ανάλυση της πρότασης από τον Νίκο.

pito · #3

Κύριε Χρήστο σας ευχαριστώ για την απάντηση, θα μελετήσω την λύση του κ.Νίκου.

#4

Τα παραπάνω μου θύμισαν μια ωραία άσκηση που συνάντησα στα φοιτητικά μου χρόνια:

α) Στις πεπερασμένες διαστάσεις, ας πούμε στον $\mathbb R^n$ , δείξτε ότι δεν υπάρχουν πίνακες A, B

με $\displaystyle{AB-BA=I}$ (ο ταυτοτικός).

Γενικότερα,

β) (Για επίπεδο ΑΕΙ). Σε χώρους Banach δείξτε ότι δεν υπάρχουν συνεχείς γραμμικές απεικονίσεις A, B

με $\displaystyle{AB-BA=I}$ (ο ταυτοτικός).

γ) (Για επίπεδο ΑΕΙ). Βρείτε διανυσματικό χώρο και γραμμικές απεικονίσεις A, B

σε αυτόν με $\displaystyle{AB-BA=I}$ (ο ταυτοτικός).

Φιλικά,

Μιχάλης

Bern · #5

Για το (β) απευθείας και το (α) έπεται. Δείχνεις ότι κατ' ανάγκην ένας από τους δυο είναι μη φραγμένος. Πρώτα βλέπεις (επαγωγικά) ότι είναι $A^nB-BA^n=nA^{n-1}$ . Αυτό δείχνει ότι o

δεν είναι μηδενοδύναμος. Τώρα, αν υποθέσεις ότι οι A,B

είναι φραγμένοι έχεις:

$n\|A^{n-1}\|\leq \|A^nB\|+\|BA^n\|\leq \|A^{n-1}\|\cdot \|AB\|+\|BA\|\cdot \|A^{n-1}\|$ .

Τελικά παίρνεις ότι $n\leq \|AB\|+\|BA\|\Rightarrow n/2\leq \|A\|\cdot \|B\|$ για όλα τα

, άτοπο.

Για το (γ) πάρε χώρο τον $c_{00}$ ,

τον τελεστή της αριστερά μετατόπισης και $Be_n=ne_{n+1}$ .

#6

Ωραία.

Ένας γρήγορος και κλασικός τρόπος για το α) είναι να πούμε: Αν AB-BA=I

τότε

, άτοπο.

Μ.

#7

Bern έγραψε: Για το (γ) πάρε χώρο τον $c_{00}$ , τον τελεστή της αριστερά μετατόπισης και $Be_n=ne_{n+1}$ .

Άλλος τρόπος για το γ) (με συγγένεια στον παραπάνω) είναι:

Στον χώρο των πολυωνύμων πραγματικής μεταβλητής θέτουμε $\displaystyle{Ap = p{'}}$ (η παράγωγος) και $\displaystyle{(Bp)(t) = tp(t)}$ . Τότε

$\displaystyle{ ((AB-BA)p) (t) = (tp(t)){'}- tp{'}(t)= p(t)}$ , δηλαδή $\displaystyle{ (AB-BA)p =p}$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Μια με ίχνος πίνακα

Μια με ίχνος πίνακα

Re: Μια με ίχνος πίνακα

Re: Μια με ίχνος πίνακα

Re: Μια με ίχνος πίνακα

Re: Μια με ίχνος πίνακα

Re: Μια με ίχνος πίνακα

Re: Μια με ίχνος πίνακα

Μέλη σε σύνδεση