Βουλγάρικο Πρόβλημα 14

#1

Ας ξεκινήσω με μια λύση του προβλήματος 14 της συλλογής Βουλγάρικα προβλήματα του Θάνου:

14. Να βρεθούν οι ακέραιοι a,b,c,d

, για τους οποίους
$\displaystyle{ ac-3bd=5, ad+bc=6 }$

Λύση: Αφού οι μιγαδικοί είναι της μόδας τελευταία, ας θέσουμε $z=a+\sqrt{3}bi$ και $w=c+\sqrt{3}di$ . Τότε

$zw=(ac-3bd)+\sqrt{3}(ad+bc)i=5+6\sqrt{3}i$

και

$\displaystyle{(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=|z|^2|w|^2=|zw|^2=5^2+3\cdot 6^2=133=7\cdot 19=(2^2+3\cdot 1^2)(4^2+3\cdot 1^2)}$

Λόγω συμμετρίας, αρκεί να λύσουμε τα συστήματα
$\displaystyle{(I) \begin{cases} a^2+3b^2=1\\ c^2+3d^2=133 \end{cases}}$ και $\displaystyle{(II) \begin{cases} a^2+3b^2=7\\ c^2+3d^2=19 \end{cases}}$

Για το (I)

παίρνουμε $a=\pm 1$ , b=0

, $c=\pm 5$ , και $d=\pm 6$ .
Για το (II)

παίρνουμε $a=\pm 2$ , $b=\pm 1$ , $c=\pm 4$ , και $d=\pm 1$ .

Έχοντας υπόψη της αρχικές εξισώσεις παίρνουμε τις λύσεις (a,b,c,d)

:

,

, και

,

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

parmenides51 · #2

μου θύμισε το θέμα του Αρχιμήδη Γυμνασίου 2004-5 αλλά είναι μεγαλύτερης δυσκολίας αυτό εδώ λόγω του συντελεστή $\displaystyle{3}$ στο γινόμενο

#3

parmenides51 έγραψε:μου θύμισε το θέμα του Αρχιμήδη Γυμνασίου 2004-5 αλλά είναι μεγαλύτερης δυσκολίας αυτό εδώ λόγω του συντελεστή $\displaystyle{3}$ στο γινόμενο

Στην ουσία τα προβλήματα είναι ίδια. Το πρόβλημα του γυμνασίου αντιμετωπίστηκε με την ταυτότητα Lagrange. Ο Αχιλλέας στη λύση του κάνει κάτι ανάλογο υπολογίζοντας το $\displaystyle{|zw|^2}$ με δύο τρόπους. Άλλωστε, αυτός είναι ένας τρόπος να αποδειχθεί η Lagrange.

Φυσικά, θα μπορούσε κανείς να ξεκινήσει την απόδειξή του γράφοντας:

Ισχύει

$\displaystyle{(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac-3bd)^2+3(ad+bc)^2}$ κτλ.,

απλώς ο Αχιλλέας είχε την καλοσύνη να μας εξηγήσει πώς θα μπορούσε κανείς να φτάσει σε αυτή την ισότητα.

Βουλγάρικο Πρόβλημα 14

Βουλγάρικο Πρόβλημα 14

Re: Βουλγάρικο Πρόβλημα 14

Re: Βουλγάρικο Πρόβλημα 14

Μέλη σε σύνδεση