Επίθεση στις άρρητες 15

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} - 1}$ .

#2

H εξίσωση έχει νόημα για $x\in\left[1,2 \right].$ Για αυτά τα

είναι $x-1\geq 0,2-x\geq 0,x-3\leq 0$ οπότε το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι μη θετικό, οπότε το ίδιο θα συμβαίνει και με το δεύτερο μέλος.
Δηλαδή $\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\leq 1.$ Υψώνοντας στο τετράγωνο καταλήγουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης θα πρέπει να ικανοποιούν την $\sqrt{x-1}\sqrt{2-x}\leq 0,$ δηλαδή x=1

ή

Και οι δύο τιμές επαληθεύουν την εξίσωση, άρα είναι οι μόνες της λύσεις.

mathxl · #3

Αφού συμπλήρωσα τον αριθμό των ασκήσεων που ήθελα, έχω χρόνο να γράψω και κάποια διαφορετική λύση.
Για $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right]}$ , έχουμε:
$\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} - 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)}^2} - 1}}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} + 1}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right) = \frac{{2\sqrt {x - 1} \cdot \sqrt {2 - x} }}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} + 1}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{x = 1 \vee x = 2 \vee x - 3 = \frac{2}{{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} + 1} \right)\sqrt {x - 1} \cdot \sqrt {2 - x} }}}$
Η $\displaystyle{x - 3 = \frac{2}{{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} + 1} \right)\sqrt {x - 1} \cdot \sqrt {2 - x} }}}$ είναι αδύνατη αφού το πρώτο μέλος είναι αρνητικό ενώ το δεύτερο θετικό.
Τελικά $\displaystyle{x = 1 \vee x = 2}$ .
ΥΓ: Στην τρίτη σειρά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα πρόσημα των μελών και να ξεμπερδεύουμε γρηγορότερα. Ο Παύλος την τσάκισε

.

Επίθεση στις άρρητες 15

Επίθεση στις άρρητες 15

Re: Επίθεση στις άρρητες 15

Re: Επίθεση στις άρρητες 15

Μέλη σε σύνδεση