Επίθεση στις άρρητες 16

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 17 - 8\sqrt {x + 1} } = 4}$ .

hsiodos · #2

Αν $\displaystyle{x \ge - 1}$ η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

$\displaystyle{ \sqrt {x + 1} + \sqrt {\left( {\sqrt {x + 1} - 4} \right)^2 } = 4 \Leftrightarrow \left| {\,4 - \sqrt {x + 1} \,} \right| = 4 - \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow 4 - \sqrt {x + 1} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 15}$

Γιώργος

BAGGP93 · #3

Καλησπέρα.

Για κάθε $\displaystyle{x\geq -1}$ είναι,

$\displaystyle{x+17-8\,\sqrt{x+1}=\left(x+1\right)-8\,\sqrt{x+1}+16=\left[\sqrt{x+1}-4\right]^2}$

Επομένως, η δοσμένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{\sqrt{x+1}+\left|\sqrt{x+1}-4\right|=4}$ με $\displaystyle{x\geq -1}$

Έστω $\displaystyle{x\geq -1}$ λύση της εξίσωσης

$\displaystyle{\sqrt{x+1}-4\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{x+1}\geq 4\Leftrightarrow x+1\geq 16\Leftrightarrow x\geq 15}$

Έτσι, αν $\displaystyle{x\geq 15}$ θα έχουμε,

$\displaystyle{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}-4=4\Rightarrow \sqrt{x+1}=4\Rightarrow x+1=16\Rightarrow x=15}$

Αν $\displaystyle{x\in\left[-1,15\right)}$ , τότε η εξίσωση γράφεται,

$\displaystyle{\sqrt{x+1}+4-\sqrt{x+1}=4}$ , που είναι αληθής.

Συμπεραίνουμε ότι το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης είναι το $\displaystyle{A=\left[-1,15\right]}$

edit:Την αφήνω για τον κόπο

Επίθεση στις άρρητες 16

Επίθεση στις άρρητες 16

Re: Επίθεση στις άρρητες 16

Re: Επίθεση στις άρρητες 16

Μέλη σε σύνδεση