Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Να δειχτεί οτι ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\nu}$ ποσοτήτων $\displaystyle{a^{x_i}}$ $\displaystyle{(i=1,2,..,\nu)}$ εκφράζεται συναρτήσει της $\displaystyle{ (\nu+1) }$ τάξης ποσότητας
(δηλαδή της $\displaystyle{a^{x_{\nu+1}}}$ ) όταν τα $\displaystyle{x_i}$ συνδέονται μέσω της σχέσης : $\displaystyle{x_{\nu}-x_{\nu-1}=\frac{\displaystyle \log \frac{\nu}{\nu-1}}{\log a}}$ με $\displaystyle{x_1=\frac{\log(\log a) }{\log a }}$ (όπου $\displaystyle{a>1}$ ) .

2. Δίνεται κανονική πυραμίδα $\displaystyle{O.AB\Gamma\Delta}$ με βάση το τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{K}$ και ακτίνας $\displaystyle{R}$ .
Δίνεται οτι η γωνία $\displaystyle{\widehat{KAO}=60^o}$ . Στο επίπεδο $\displaystyle{KAO}$ και στο σημείο $\displaystyle{A}$ φέρνουμε την κάθετη στην $\displaystyle{AO }$ που τέμνει την $\displaystyle{OK}$ στο $\displaystyle{\Sigma}$ .
Να υπολογιστεί ο όγκος και η επιφάνεια του πολύεδρου $\displaystyle{O.AB\Gamma\Delta\Sigma}$ .
Αφαιρούμε τώρα από το πολύεδρο αυτό την πυραμίδα με κορυφή το $\displaystyle{A}$ και βάση την τομή $\displaystyle{EZH\Theta}$ του πολυέδρου με το κάθετο στην $\displaystyle{A\Gamma}$ επίπεδο,
το οποίο άγεται σε απόσταση $\displaystyle{\alpha}$ από την κορυφή $\displaystyle{A}$ .
Να υπολογισθεί ο όγκος και η επιφάνεια του νέου στερεού που σχηματίζεται, εαν υποτεθεί ότι $\displaystyle{\alpha <R}$

3. Να βρεθούν όλες οι τιμές του $\displaystyle{x}$ μεταξύ $\displaystyle{0,2\pi}$ οι οποίες επαληθεύουν την ανισότητα $\displaystyle{\frac{2\eta\mu 2x-\sqrt2}{\sigma \upsilon \nu 2x -3\sigma \upsilon \nu x +2}>0}$

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχτεί οτι ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\nu}$ ποσοτήτων $\displaystyle{a^{x_i}}$ $\displaystyle{(i=1,2,..,\nu)}$ εκφράζεται συναρτήσει της $\displaystyle{ (\nu+1) }$ τάξης ποσότητας
(δηλαδή της $\displaystyle{a^{x_{\nu+1}}}$ ) όταν τα $\displaystyle{x_i}$ συνδέονται μέσω της σχέσης : $\displaystyle{x_{\nu}-x_{\nu-1}=\frac{\displaystyle \log \frac{\nu}{\nu-1}}{\log a}}$ με $\displaystyle{x_1=\frac{\log(\log a) }{\log a }}$ (όπου $\displaystyle{a>1}$ ) .

$x_{\nu}-x_{\nu-1}=\dfrac{\log \dfrac{\nu}{\nu-1}}{\log a}$

$x_{\nu-1}-x_{\nu-2}=\dfrac{\log \dfrac{\nu-1}{\nu-2}}{\log a}$

..................................

$x_{2}-x_{1}=\dfrac{\log \dfrac{2}{1}}{\log a}$

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

$x_{\nu}-x_1=\dfrac{\log \left(\dfrac{\nu}{\nu-1}\dfrac{\nu-1}{\nu-2}\cdots\dfrac{2}{1}\right)}{\log a}\iff$

$\iff x_{\nu}=x_1+\dfrac{\log \nu}{\log a}\iff$

$\iff x_{\nu}=\dfrac{\log(\log a) }{\log a }+\dfrac{\log \nu}{\log a}\iff$

$\iff x_{\nu}=\dfrac{\log(\nu\log a) }{\log a }\iff$

$\iff x_{\nu}=\dfrac{\log\left(\log a^{\nu}\right) }{\log a }\iff$

$\iff x_{\nu}=\log_{a}\left(\log a^{\nu}\right)$ .

Άρα $a^{x_i}=a^{\log_{a}\left(\log a^{i}\right)}=\log a^{i}$ .

Έτσι ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\nu}$ ποσοτήτων $\displaystyle{a^{x_i}}$ $\displaystyle{(i=1,2,..,\nu)}$ είναι ίσος με

$\dfrac{a^{x_1}+a^{x_2}+\cdots+a^{x_{\nu}}}{\nu}=\dfrac{\log a^{1}+\log a^{2}+\cdots+\log a^{\nu}}{\nu}=$

$=\dfrac{\log a^{1+2+\cdots+\nu}}{\nu}=\dfrac{\log a^{\frac{\nu(\nu+1)}{2}}}{\nu}=$

$=\dfrac{\dfrac{\nu}{2}\log a^{\nu+1}}{\nu}=\dfrac{\log a^{\nu+1}}{2}=\dfrac{a^{x_{\nu+1}}}{2}$

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

3. Να βρεθούν όλες οι τιμές του $\displaystyle{x}$ μεταξύ $\displaystyle{0,2\pi}$ οι οποίες επαληθεύουν την ανισότητα $\displaystyle{\frac{2\eta\mu 2x-\sqrt2}{\sigma \upsilon \nu 2x -3\sigma \upsilon \nu x +2}>0}$

Για $\displaystyle{x\in\left[0,2\,\pi\right]}$ έχουμε,

$\displaystyle{\frac{2\,\eta \mu\,2\,x-\sqrt{2}}{\sigma \upsilon \nu\,2\,x-3\,\sigma \upsilon \nu\,x+2}>0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}\,\eta \mu\,2\,x-1}{\left(\sigma \upsilon \nu\,x-1\right)\left(2\,\sigma \upsilon \nu\,x-1\right)}>0}$

Επειδή $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu\,x-1<0\ \forall x\in\left(0,2\,\pi\right)}$ , ισοδύναμα έχουμε,

$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}\,\eta \mu\,2\,x-1}{\left(\sigma \upsilon \nu\,x-1\right)\left(2\,\sigma \upsilon \nu\,x-1\right)}>0\Leftrightarrow \left(\sqrt{2}\,\eta \mu\,2\,x-1\right)\left(2\,\sigma \upsilon \nu\,x-1\right)<0}$ , οπότε,

$\displaystyle{\left(\eta \mu\,2\,x<\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\sigma \upsilon \nu\,x>\frac{1}{2}\right)\,\,\eta{'}\,\,\left(\eta \mu\,2\,x>\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\sigma \upsilon \nu\,x<\frac{1}{2}\right)}$

$\displaystyle{\eta \mu\,2\,x<\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2\,x\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\,\pi}{4},2\,\pi\right]\Leftrightarrow x\in\left(0,\frac{\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{3\,\pi}{8},\pi\right]$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu\,x>\frac{1}{2}\Leftrightarrow x\in\left(0,\frac{\pi}{3}\right)\right)\cup\left(\frac{7\,\pi}{3},2\,\pi\right]}$

Επομένως,

$\displaystyle{\left(\eta \mu\,2\,x<\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\sigma \upsilon \nu\,x>\frac{1}{2}\right)\Leftrightarrow x\in\left(0,\frac{\pi}{8}\right)}$

$\displaystyle{\eta mu\,2\,x>\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{8},\frac{3\,\pi}{8}\right)}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu\,x<\frac{1}{2}\Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{7\,\pi}{3}\right)}$

Επομένως,

$\displaystyle{\left(\eta \mu\,2\,x>\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\sigma \upsilon \nu\,x<\frac{1}{2}\right)\Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{3\,\pi}{4}\right)}$

Τελικά,

$\displaystyle{\frac{2\,\eta \mu\,2\,x-\sqrt{2}}{\sigma \upsilon \nu\,2\,x-3\,\sigma \upsilon \nu\,x+2}>0\Leftrightarrow x\in\left(0,\frac{\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3},\frac{3\,\pi}{4}\right)}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχτεί οτι ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\nu}$ ποσοτήτων $\displaystyle{a^{x_i}}$ $\displaystyle{(i=1,2,..,\nu)}$ εκφράζεται συναρτήσει της $\displaystyle{ (\nu+1) }$ τάξης ποσότητας
(δηλαδή της $\displaystyle{a^{x_{\nu+1}}}$ ) όταν τα $\displaystyle{x_i}$ συνδέονται μέσω της σχέσης : $\displaystyle{x_{\nu}-x_{\nu-1}=\frac{\displaystyle \log \frac{\nu}{\nu-1}}{\log a}}$ με $\displaystyle{x_1=\frac{\log(\log a) }{\log a }}$ (όπου $\displaystyle{a>1}$ ) .

πάλι εδώ

Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1966-67 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση