Τελικός γύρος Ελβετίας, 2013

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

socrates: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 6597; Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ιστοσελίδα Facebook

Τελικός γύρος Ελβετίας, 2013

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Αύγ 04, 2013 8:41 pm

Τελικός γύρος Ελβετίας, 2013

1. Προσδιορίστε όλες τις τριάδες φυσικών αριθμών (a, b, c)

για τις οποίες τα σύνολα $\displaystyle{\{ (a, b), (b, c), (c, a), [a, b] ,[b, c], [c , a]\} }$ και $\displaystyle{\{ 2, 3, 5, 30, 60 \}}$ είναι ίσα.
Παρατήρηση: Για παράδειγμα, τα σύνολα $\{ 1, 2013 \}$ και $\{1, 1, 2013 \}$ είναι ίσα.

2. Έστω

ένας φυσικός αριθμός και p_1, ..., p_n

ανά δύο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί. Να δείξετε ότι:

p^2_1 + p^2_2 +... + p^2_n > n^3.

3. Έστω

εγγράψιμο τετράπλευρο με $\angle ADC = \angle DBA.$
Αν

η προβολή του

στην

να δείξετε ότι BC = DE-BE.

4. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left(\frac{x}{y+1}\right)=1-xf(x+y) ,}$ για κάθε x>y>0.

5.

6.

7. Έστω

το περίκεντρο τριγώνου ABC

με $AB \ne AC.$
Τα σημεία

και

βρίσκονται στις ευθείες

και

αντίστοιχα, και είναι τέτοια ώστε $\angle ASO =\angle ACO$ και $\angle AT O =\angle ABO.$
Δείξτε ότι η ευθεία

διχοτομεί το τμήμα BC.

8. Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{a^2\cdot \frac{a-b}{a+b}+b^2\cdot \frac{b-c}{b+c}+c^2\cdot \frac{c-a}{c+a}\geq 0 .}$

Πότε ισχύει η ισότητα;

9. Να βρείτε όλες τις τετράδες (p, q, m, n)