ΣΥΣΤΗΜΑ 30 (Mihai Bencze, 2005)

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{y + z}} + y = \frac{{z\left( {z + x} \right)}}{{x + y}} + x = \frac{{y\left( {y + z} \right)}}{{z + x}} + z\\ \left( {x,y,z \in \left( {0, + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$
N.Z.

#2

Έστω $\displaystyle{z=\max\{x,y,z\}.}$

Τότε

$\displaystyle{\frac{x+y}{y+z}=\frac{z^2+zx+xy+x^2}{x^2+xy+yz+y^2}\leq 1\implies z^2+zx\leq yz+y^2 \implies y^2+zx \leq z^2+zx\leq yz+y^2 \implies y\geq x}$

και

$\displaystyle{\frac{x+z}{y+z}=\frac{y^2+yz+xz+z^2}{x^2+xy+yz+y^2}\leq 1\implies z^2+zx\leq xy+x^2 \implies x^2+yx \leq z^2+zx\leq xy+x^2 \implies y\geq z}$

οπότε, από την ισότητα, x=y=z.

ΣΥΣΤΗΜΑ 30 (Mihai Bencze, 2005)

ΣΥΣΤΗΜΑ 30 (Mihai Bencze, 2005)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 30 (Mihai Bencze, 2005)

Μέλη σε σύνδεση