Ανισότητα

nicklarissa · #1

Κατασκεύασα την πρώτη μου ανισότητα.Ελπίζω τουλάχιστον να είναι σωστή.
Για τους x,y,z>0

να δείξετε ότι

$2{x}^{6}+2{y}^{6}+2{z}^{6}+3\geq 3({x}^{2}yz+{y}^{2}xz+{z}^{2}xy)$

#2

nicklarissa έγραψε:Κατασκεύασα την πρώτη μου ανισότητα.Ελπίζω τουλάχιστον να είναι σωστή.
Για τους να δείξετε ότι

$2{x}^{6}+2{y}^{6}+2{z}^{6}+3\geq 3({x}^{2}yz+{y}^{2}xz+{z}^{2}xy)$

Καλορίζικη.

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\displaystyle{ x^6+x^6+y^6+z^6 + 1 + 1 \ge 6\sqrt[6]{x^6x^6y^6z^6\cdot 1 \cdot 1}= 6 x^2yz }$ και όμοια άλλες δύο παρόμοιες, κυκλικά. Προσθέτοντας τις τρεις κατά μέλη, έπεται εύκολα η ζητούμενη.

Μ.

S.E.Louridas · #3

nicklarissa έγραψε:Κατασκεύασα την πρώτη μου ανισότητα.Ελπίζω τουλάχιστον να είναι σωστή.
Για τους να δείξετε ότι

$2{x}^{6}+2{y}^{6}+2{z}^{6}+3\geq 3({x}^{2}yz+{y}^{2}xz+{z}^{2}xy)$

Για να τιμήσουμε και εμείς την κατασκευαστική προσπάθεια ενός νέου (στην ηλικία) και μετά την υποδειγματική διαπραγμάτευση του Μιχάλη.

Θα χρησιμοποιήσουμε ότι:
$a,b,c \in {\Cal R} \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca,$ και $a,b,c \in {\Cal R}_ + ^ * \Rightarrow a + b + c \geqslant 3\root 3 \of {abc} .$

Έτσι παίρνουμε:
$x^6 + y^6 + 1 \geqslant \left( {xy} \right)^3 + x^3 + y^3 \geqslant 3\left( {xy} \right)^2 ,\;\;y^6 + z^6 + 1 \geqslant \left( {yz} \right)^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3\left( {yz} \right)^2 ,$
$\;\;z^6 + x^6 + 1 \geqslant \left( {zx} \right)^3 + z^3 + x^3 \geqslant 3\left( {zx} \right)^2 \Rightarrow$ $2x^6 + 2y^6 + 2z^6 + 3 \geqslant 3\left( {x^2 yz + xy^2 z + xyz^2 } \right).$

nicklarissa · #4

S.E.Louridas έγραψε:
nicklarissa έγραψε:Κατασκεύασα την πρώτη μου ανισότητα.Ελπίζω τουλάχιστον να είναι σωστή.
Για τους να δείξετε ότι

$2{x}^{6}+2{y}^{6}+2{z}^{6}+3\geq 3({x}^{2}yz+{y}^{2}xz+{z}^{2}xy)$
Για να τιμήσουμε και εμείς την κατασκευαστική προσπάθεια ενός νέου (στην ηλικία) και μετά την υποδειγματική διαπραγμάτευση του Μιχάλη.

Θα χρησιμοποιήσουμε ότι:
$a,b,c \in {\Cal R} \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca,$ και $a,b,c \in {\Cal R}_ + ^ * \Rightarrow a + b + c \geqslant 3\root 3 \of {abc} .$

Έτσι παίρνουμε:
$x^6 + y^6 + 1 \geqslant \left( {xy} \right)^3 + x^3 + y^3 \geqslant 3\left( {xy} \right)^2 ,\;\;y^6 + z^6 + 1 \geqslant \left( {yz} \right)^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3\left( {yz} \right)^2 ,$
$\;\;z^6 + x^6 + 1 \geqslant \left( {zx} \right)^3 + z^3 + x^3 \geqslant 3\left( {zx} \right)^2 \Rightarrow$ $2x^6 + 2y^6 + 2z^6 + 3 \geqslant 3\left( {x^2 yz + xy^2 z + xyz^2 } \right).$

Αυτή τη λύση είχα στο μυαλό μου όταν έκανα την άσκηση.Σας ευχαριστώ πολύ πάντως και για τις δυο λύσεις.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση