Με διαιρετότητα

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(m)+f(n) | m+n ,}$ για κάθε $m,n \in \mathbb{N}.$

Mikesar · #2

Καλησπέρα Θανάση. Ωραία άσκηση.
Υποθέτω ότι το

δεν ανήκει στο $\mathbb{N}$ .
Για m=n

έχω ότι

.
Στην τελευταία με m=1

παίρνω ότι f(1)=1

και για

, όπου ο

είναι πρώτος έχω ότι $f(p)\in\{1,p\}$ .
Έστω ότι υπάρχουν πρώτοι p,q

με

και

. Τότε αντικαθιστώντας στην αρχική, έχω ότι $p+1|p+q\Leftrightarrow p+1|q-1$ .
Αν υπάρχουν άπειροι p:f(p)=p

, τότε κρατώντας το

σταθερό και παίρνοντας

αρκετά μεγάλο, έχω άτοπο. Άρα οι

που ανέφερα είναι πεπερασμένοι. Έτσι οι q:f(q)=1

είναι άπειροι.
Διαλέγω δύο τέτοιους περιττούς πρώτους q_1,q_2

με

.
Στην αρχική για m=q_1-q_2

και

παίρνω

και όμοια για n=q_2

παίρνω

.
Άρα

που είναι άτοπο γιατί f(q_1-q_2)+1>1

.
Έτσι

για κάθε πρώτο

.
Έστω

ένας σταθερός σύνθετος αριθμός. Τότε η αρχική μού δίνει οτι f(m)+q|m+q

για κάθε πρώτο

.
Αν τώρα m=kf(m)

τότε $f(m)+q|kf(m)+q\Leftrightarrow f(m)+q|-kq+q\Leftrightarrow f(m)+q|q(k-1)$ .
Παίρνω $q\ne p_i$ πολύ μεγάλο. Τότε (f(m)+q,q)=(f(m),q)=1

άρα

και αφού το

γίνεται όσο μεγάλο θέλω έχω ότι k=1

Edit: Διόρθωση λάθους μετά από υπόδειξη του Θανάση τον οποίο και ευχαριστώ.

Antonis_Z · #3

Χαιρετώ.Κάνω κι εγώ μια προσπάθεια,αλλά δεν είμαι και πολύ σίγουρος αν είναι σωστή.

Το 0 μάλλον δεν ανήκει στο σύνολο τιμών...
Με m=n

έχω $f(m)|m\implies f(m)\leq m$ .
Για κάθε

μπορώ πάντα να επιλέξω έναν πρώτο p,p>n

.
Για

το

έχω

.Σ'ἀυτήν-προφανώς- $f(p-n)+f(n)\neq 1$ πάντα,άρα f(p-n)+f(n)=p

.Όμως $f(p-n)+f(n)\leq p-n +n=p$ ,οπότε πρέπει f(n)=n

και

.
Τελικά προκύπτει f(n)=n

.

#4

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=504997
viewtopic.php?f=111&t=39728

Με διαιρετότητα

Με διαιρετότητα

Re: Με διαιρετότητα

Re: Με διαιρετότητα

Re: Με διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση