ανισοτική

bboybast · #1

Για $0<a\leq b<\frac{\pi }{2}$ να δειχθεί ότι $\int_{a}^{b}{\ln (tanx)dx}\geq\frac{1}{e}\ln \frac{\sin a}{\sin b}$ .

#2

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{\rm f(b)=\int_{a}^{b}\ln \tan xdx+\frac{1}{e}(\ln \sin b-\ln \sin a), b\in \Big[a,\frac{\pi}{2}\Big).}$

Είναι

$\displaystyle{\rm f'(b)=\ln \tan b+\frac{1}{e}\cot b=\frac{et\ln t+1}{et},}$ όπου τέθηκε $\displaystyle{\rm t:=\tan b>0.}$

Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει $\displaystyle{\rm et\ln t+1\geq 0~\forall t>0}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο στο $\displaystyle{\rm \frac{1}{e},}$ επομένως ισχύει

$\displaystyle{\rm f'(b)\geq 0}$ για κάθε $\displaystyle{b\in \Big[a,\frac{\pi}{2}\Big).}$

Τότε, η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο προαναφερθέν διάστημα και προκύπτει η ζητούμενη.

ανισοτική

ανισοτική

Re: ανισοτική

Μέλη σε σύνδεση