ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης
$\displaystyle{K=\frac{1}{(x+y)^2} \left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{2}{(x+y)^3} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}$ όταν $\displaystyle{x=\frac{1}{6}}$ και $\displaystyle{y=\frac{1}{2} }$

2. Να βρεθούν οι χρονικές στιγμές που συμπίπτουν ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης
σε ρολόι ακριβείας από τα μεσάνυχτα εώς το μεσημέρι της επόμενης ημέρας.

3. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z+w=22 \\ \\ xyzw=648 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{5}{18} \end{array} \right.$

4. Να βρεθεί το όριο του αθροίσματος $\displaystyle{\Sigma_{\nu}=\frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{\nu\cdot (\nu +1)}}$
όταν ο ακέραιος και θετικός $\displaystyle{\nu}$ αυξάνει απεριόριστα

#2

parmenides51 έγραψε:
3. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z+w=22 \\ \\ xyzw=648 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{5}{18} \end{array} \right.$

Υποθέτω ότι ζητούνται οι πραγματικές (και μη- μηδενικές ) λύσεις

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + w = 22 \\ xyzw = 648 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{12}} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{w} = \frac{5}{{18}} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z + w = 22} \\ {xyzw = 648} \\ {7xy = 12(x + y)} \\ {5zw = 18(z + w)} \\ \end{array}} \right.}$
θέτω : $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,xy = a\,\,\,\,,\,\,\,x + y = b\,\,\,,zw = c\,\,,\,\,z + w = d\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)}$
Οπότε :
$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b + d = 22} \\ {ac = 648} \\ {7a = 12b} \\ {5c = 18d} \\ \end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b + d = 22} \\ {\frac{{12b}}{7}\frac{{18d}}{5} = 648} \\ {a = \frac{{12b}}{7}} \\ {c = \frac{{18d}}{5}} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b + d = 22\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)} \\ {\,\,\,\,\,\,\,bd = \frac{{3 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 7 \cdot 5}}{{12 \cdot 18}} = 15 \cdot 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \frac{{12b}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c = \frac{{18d}}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)} \\ \end{array}} \right.}$
Από $\displaystyle{\,\,\,(1) \wedge (2) \Rightarrow \,\,\,\,\left( {b = 15 \wedge d = 7\,} \right)\,\, \vee \left( {d = 15 \wedge b = 7\,} \right)}$
α) Αν $\displaystyle{\,\,\,\,b = 15 \wedge d = 7 \Rightarrow a = \frac{{180}}{7} \wedge c = \frac{{126}}{5}}$
οπότε : $\displaystyle{(5) \Rightarrow xy = \frac{{180}}{7}\,\,\,\,,\,\,\,x + y = 15\,\,\,,zw = \frac{{126}}{5}\,\,,\,\,z + w = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)}$

Τα δύο συστήματα που προκύπτουν από τις σχέσεις $\displaystyle{\,\,(6)\,\,\,}$ δεν δίνουν πραγματικές λύσεις .
β) Αν $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,d = 15 \wedge b = 7 \Rightarrow a = 12 \wedge c = 54}$
οπότε : $\displaystyle{\,\,\,\,(5) \Rightarrow xy = 12\,\,\,\,,\,\,\,x + y = 7\,\,\,,zw = 54\,\,,\,\,\,\,\,z + w = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)}$
το οποίο δίνει τις παρακάτω τετράδες λύσεων :
$\displaystyle{\,\,\,\,\,\,(x,y,z,w) = (3,4,9,6) \vee (3,4,6,9) \vee (4,3,9,6) \vee (4,3,6,9)}$

οι οποίες επαληθεύουν το δοσμένο σύστημα .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

4. Να βρεθεί το όριο του αθροίσματος $\displaystyle{\Sigma_{\nu}=\frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{\nu\cdot (\nu +1)}}$
όταν ο ακέραιος και θετικός $\displaystyle{\nu}$ αυξάνει απεριόριστα

Kλασσικό θέμα στις ακολουθίες.....

Θα βασιστούμε στην ισότητα

$\frac{1}{k\left(k+1 \right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

την οποία θα εφαρμόσουμε διαδοχικά για $k=1,2,3....\nu$

Έτσι έχουμε ότι

$\frac{1}{1\cdot 2}=1-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

................................................................
................................................................
................................................................

$\frac{1}{\nu \left(\nu +1 \right)}=\frac{1}{\nu }-\frac{1}{\nu +1}$

Αν προσθέσουμε τις $\nu$ το πλήθος ισότητες , καταλήγουμε ότι

$\Sigma _{\nu }=1-\frac{1}{\nu +1}$

και έτσι το ζητούμενο όριο είναι ίσο με 1.

Γιώργος Απόκης · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης
$\displaystyle{K=\frac{1}{(x+y)^2} \left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{2}{(x+y)^3} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}$ όταν $\displaystyle{x=\frac{1}{6}}$ και $\displaystyle{y=\frac{1}{2} }$

Έχουμε : $\displaystyle{K=\frac{1}{(x+y)^2} \cdot\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{2}{(x+y)^3}\cdot \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{(x+y)^2} \cdot\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{2}{(x+y)^2}\cdot \frac{1}{xy}=}$

$\displaystyle{\frac{x^2+y^2}{(x+y)^2x^2y^2}+\frac{2xy}{(x+y)^2x^2y^2}=\frac{x^2+y^2+2xy}{(x+y)^2x^2y^2}=\frac{(x+y)^2}{(x+y)^2x^2y^2}=\frac{1}{(xy)^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{12}}\right)^2}=144$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

2. Να βρεθούν οι χρονικές στιγμές που συμπίπτουν ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης
σε ρολόι ακριβείας από τα μεσάνυχτα εώς το μεσημέρι της επόμενης ημέρας.

Eίναι ένα κλασσικό πρόβλημα , το οποίο αντιμετώπισα όταν ήμουν μαθητής της Α' Λυκείου.
Θα γράψω τη λύση που βρήκα τότε , μια λύση βασισμένη στις γνώσεις κινηματικής που διδάχτηκα στο λύκειο , γνώσεις πάνω στην ομαλή κυκλική κίνηση.

Έατω $\phi _{1}$ η γωνία που θα έχει ''γράψει'' ο λεπτοδείκτης και $\phi _{2}$ η γωνία που θα έχει ''γράψει'' ο ωροδείκτης
μέχρι τη σύμπτωση. Επίσης έστω $\omega _{1}$ , $\omega _{2}$ οι αντίστοιχες γωνιακές ταχύτητες.
Έστω $t _{0}$ ο χρόνος που περνάει από τα μεσάνυκτα μέχρι τη σύμπτωση των δύο δεικτών.

Ισχύει $\omega _{1}= \frac{\varphi_{1} }{t_{0}}\Rightarrow$ \displaystyle{\frac{2\pi }{1}=\frac{\varphi_{1} }{t_{0}}\Rightarrow \varphi _{1}=2 \pi t_{0} Επίσης

\omega _{2}=\frac{\varphi_{2} }{t_{0}}\Rightarrow
\frac{2\pi }{12}=\frac{\varphi_{ 2} }{t_{0}}\Rightarrow} $\varphi _{2}=\frac{\pi t_{0} }{6}$

Αυτό που θέλουμε είναι ισοδύναμο με
$\varphi _{1}-\varphi _{2}=2k\pi \Leftrightarrow 2\pi t_{0} -\frac{\pi t_{0} }{6}=2k\pi \Leftrightarrow t_{0}=\frac{12k}{11}$ με

ακέραιο.

Για να βρούμε τις ώρες των συμπτώσεων θέτουμε k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11

. Για

έχουμε το μεσημέρι της επόμενης μέρας.

Έτσι μέχρι να ξανασυναντηθούν οι δυο δείκτες το μεσημέρι , αυτό θα έχει ήδη γίνει 10 φορές.

Συγκεκριμένα: στις $1\frac{1}{11}$ , $2\frac{2}{11}$ , $3\frac{3}{11}$ , $4\frac{4}{11}$ , $5\frac{5}{11}$ , $6\frac{6}{11}$ , $7\frac{7}{11}$ , $8\frac{8}{11}$ , $9\frac{9}{11}$ , $10\frac{10}{11}$ .

ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση