Συναρτησιακή εξίσωση (ι)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f( f(n+1)+3)= n ,}$ για κάθε $n \in \mathbb{Z}$ .

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f( f(n+1)+3)= n ,}$ για κάθε $n \in \mathbb{Z}$ .

Για $n\to n-1$ έχουμε $f(f(n)+3)=n-1\;\;(1)$ .

Έστω $m\;,\;n\in\Bbb{Z}$ με $f(m)=f(n)\Rightarrow f(m)+3=f(n)+3\Rightarrow f(f(m)+3)=f(f(n)+3)\Rightarrow m=n$ , άρα είναι 1-1

.

Επίσης έστω $y_o\in\Bbb{Z}$ , τότε για n=y_0-1

έχουμε

, άρα $y_0\in f(\Bbb{Z})$ , δηλαδή $\Bbb{Z}\subseteq f(\Bbb{Z})$ και αφού $f(\Bbb{Z})\subseteq \Bbb{Z}$ , έχουμε $f(\Bbb{Z})=\Bbb{Z}$ .

Έτσι η

έχει αντίστροφη $f^{-1}:\Bbb{Z}\to\Bbb{Z}$ .

Από την (1)

για $n\to f^{-1}(n)$ έχουμε $f(f(f^{-1}(n))+3)=f^{-1}(n)-1\iff f^{-1}(n)=f(n+3)+1$ .

Επίσης $f^{-1}(f(f(n+1)+3))=f^{-1}(n)\Rightarrow f(n+1)+3=f^{-1}(n)$ .

Άρα $f(n+3)+1=f(n+1)+3\Rightarrow f(n+2)=f(n)+2\;\;\forall n\in\Bbb{Z}$ .

Για $n\in\Bbb{N}:$

Έστω g_1(n)=f(2n)

, τότε

, άρα

Αριθμητική πρόοδος με διαφορά

, επομένως $g_1(n)=a+2n\iff f(2n)=a+2n$ .

Έστω g_2(n)=f(2n+1)

, τότε

, άρα

Αριθμητική πρόοδος με διαφορά

, επομένως $g_2(n)=b'+2n\iff f(2n+1)=b'+2n=b'-1+2n+1\iff$
$\iff f(2n+1)=b+2n+1$ .

Δηλαδή $f(n)=\begin{cases}a+n\;,\;n=2k\\b+n\;,\;n=2k+1\end{cases}\;,\;k\in\Bbb{N}$ .

Άρα

$\bullet$ Αν

άρτιος , τότε n+1

περιττός , άρα f(n+1)+3=b+n+4

.

$\diamond$ Αν b+n+4

άρτιος , τότε

άρτιος και f(f(n+1)+3)=a+b+n+4

. Αλλά

, άρα

με

άρτιους.

$\diamond$ Αν b+n+4

περιττός , τότε

περιττός και f(f(n+1)+3)=2b+n+4

. Αλλά

, άρα

ΑΤΟΠΟ.

$\bullet$ Αν

περιττός , τότε n+1

άρτιος , άρα f(n+1)+3=a+n+4

.

$\diamond$ Αν a+n+4

άρτιος , τότε

περιττός και f(f(n+1)+3)=2a+n+4

. Αλλά

, άρα

ΑΤΟΠΟ.

$\diamond$ Αν a+n+4

περιττός , τότε

άρτιος και f(f(n+1)+3)=b+a+n+4

. Αλλά

, άρα

με

άρτιους.

Άρα $f(n)=\begin{cases}a+n\;,\;n=2k\\n-4-a\;,\;n=2k+1\end{cases}\;,\;k\in\Bbb{N}$ .

Όμοια , θεωρώντας τις h_1(n)=f(-2n)

,

βρίσκουμε ότι $f(n)=\begin{cases}a-n\;,\;n=2k\\-n-4-a\;,\;n=2k+1\end{cases}\;,\;k\in\Bbb{N}$ . για κάθε $n\in\Bbb{N}$ .

Άρα $f(n)=\begin{cases}a+n\;,\;n=2k\\n-4-a\;,\;n=2k+1\end{cases}\;,\;k\in\Bbb{Z}$ , με $a\in\Bbb{Z}$ άρτιο , για κάθε $n\in\Bbb{Z}$ που επαληθεύει και την υπόθεση.

Συναρτησιακή εξίσωση (ι)

Συναρτησιακή εξίσωση (ι)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ι)

Μέλη σε σύνδεση