ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Να καταγράψετε όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις $\displaystyle{x^2+\gamma x+\delta =0}$ με ακέραιους συντελεστές $\displaystyle{\gamma,\delta}$ των οποίων οι (πραγματικές ή μιγαδικές) ρίζες $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ έχουν την ιδιότητα $\displaystyle{|\rho_1|=|\rho_2|=1}$ . Να δείξετε οτι για κάθε τέτοια εξίσωση, υπάρχει φυσικός αριθμός $\displaystyle{\nu}$ όχι κατ' ανάγκην ο ίδιος για όλες τις περιπτώσεις, ώστε να είναι $\displaystyle{\rho_1^{\nu}=\rho_2^{\nu}=1}$ , υπολογίζοντας μαζί και τον ελάχιστο \nu στις διάφορες περιπτώσεις.

2. Δίνονται δυο δευτεροβάθμια πολυώνυμα $\displaystyle{f(x)=x^2+1}$ και $\displaystyle{g(x)=2x^2+3ix -1}$ όπου $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Να προσδιορίσετε τους συντελεστές $\displaystyle{a,b,c}$ των πολυωνύμων $\displaystyle{ax+b}$ και $\displaystyle{x+c}$ ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{h(x)=f(x)(ax+b)+g(x)(x+c)}$ να μην είναι ταυτοτικά μηδενικό, να έχει τον ελάχιστο βαθμό και συντελεστή της ανωτάτης δύναμης του $\displaystyle{x }$ την μονάδα. Να επαληθεύσετε τότε, οτι το ανωτέρω προσδιορισμένο πολυώνυμο $\displaystyle{h(x)}$ είναι ο ΜΚΔ των πολυωνύμων $\displaystyle{f(x)}$ και $\displaystyle{g(x)}$ .

3. Να δείξετε οτι εαν $\displaystyle{\lambda, \mu, \nu}$ είναι τρεις ακέραιοι (φυσικοί) αριθμοί , εκ των οποίων οι $\displaystyle{\lambda}$ και $\displaystyle{\mu}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, και $\displaystyle{\mu\le \nu }$ , τότε από τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{ \mu x-\lambda y=1}$ , δηλαδή από τα ζεύγη τιμών $\displaystyle{(x,y)}$ που επαληθεύουν αυτή την εξίσωση, υπάρχει μια και μοναδική λύση $\displaystyle{(x_o,y_o)}$ για την οποία είναι $\displaystyle{0\le \nu-\mu< y_o\le \nu}$ . Να δείξετε επίσης οτι αν σχηματίσουμε όλα τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ με όρους $\displaystyle{a,b}$ φυσικούς αριθμούς, πρώτους μεταξύ τους και $\displaystyle{b\le n}$ , τότε το $\displaystyle{\frac{x_o}{y_o} \,\, \left(}$ ομοίως το $\displaystyle{\frac{\lambda }{\mu} \left)}$ βρίσκεται μεταξύ των κλασμάτων της κατηγορίας αυτής και μάλιστα είναι το αμέσως επόμενο του $\displaystyle{\frac{\lambda }{\mu}}$ , δηλαδή είναι $\displaystyle{\frac{\lambda }{\mu}< \frac{x_o}{y_o}}$ και δεν υπάρχει κλάσμα $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ της παραπάνω κατηγορίας για το οποίο να ισχύει $\displaystyle{ \frac{\lambda }{\mu}<\frac{a}{b} < \frac{x_o}{y_o}}$ .

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να καταγράψετε όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις $\displaystyle{x^2+\gamma x+\delta =0}$ με ακέραιους συντελεστές $\displaystyle{\gamma,\delta}$ των οποίων οι (πραγματικές ή μιγαδικές) ρίζες $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ έχουν την ιδιότητα $\displaystyle{|\rho_1|=|\rho_2|=1}$ . Να δείξετε οτι για κάθε τέτοια εξίσωση, υπάρχει φυσικός αριθμός $\displaystyle{\nu}$ όχι κατ' ανάγκην ο ίδιος για όλες τις περιπτώσεις, ώστε να είναι $\displaystyle{\rho_1^{\nu}=\rho_2^{\nu}=1}$ , υπολογίζοντας μαζί και τον ελάχιστο $\nu$ στις διάφορες περιπτώσεις.

Αν οι ρίζες είναι πραγματικοί αριθμοί , τότε $|\rho_1|=1\iff \rho_1=\pm 1$ και $|\rho_2|=1\iff \rho_2=\pm 1$ .

Άρα έχουμε τις περιπτώσεις :

$\bullet$ Να έχει ρίζες τους 1,-1

, τότε έχουμε την εξίσωση x^2-1=0

. Είναι $\rho_1^2=\rho_2^2=1$ (ελάχιστος $\nu$ το

).

$\bullet$ Να έχει διπλή ρίζα το

, τότε έχουμε την εξίσωση x^2-2x+1=0

. Είναι $\rho_1^1=\rho_2^1=1$ (ελάχιστος $\nu$ το

).
$\bullet$ Να έχει διπλή ρίζα το

, τότε έχουμε την εξίσωση x^2+2x+1=0

. Είναι $\rho_1^2=\rho_2^2=1$ (ελάχιστος $\nu$ το

).

Αν οι ρίζες δεν είναι πραγματικοί αριθμοί , τότε θα πρέπει :

Οι $\rho_1,\rho_2$ είναι συζυγείς με $\rho_1\cdot\rho_2=\delta\iff |\rho_1|=\delta\iff \delta=1$ .
και
$\Delta<0\iff \gamma^2-4<0\iff -2<\gamma<2$ και επειδή ο $\gamma$ είναι ακέραιος , θα έχουμε ότι $\gamma\in\{-1,0,1\}$ .

Άρα έχουμε τις περιπτώσεις :

$\bullet$ x^2-x+1=0

. Είναι $\rho_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\;,\;\rho_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ και $\rho_1^6=\rho_2^6=1$ (ελάχιστος $\nu$ το

).

$\bullet$ x^2+1=0

. Είναι $\rho_1=i\;,\;\rho_2=-i$ και $\rho_1^4=\rho_2^4=1$ (ελάχιστος $\nu$ το

).

$\bullet$ x^2+x+1=0

. Είναι $\rho_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\;,\;\rho_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ και $\rho_1^3=\rho_2^3=1$ (ελάχιστος $\nu$ το

).

gauss1988 · #3

parmenides51 έγραψε:2. Δίνονται δυο δευτεροβάθμια πολυώνυμα $\displaystyle{f(x)=x^2+1}$ και $\displaystyle{g(x)=2x^2+3ix -1}$ όπου $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ . Να προσδιορίσετε τους συντελεστές $\displaystyle{a,b,c}$ των πολυωνύμων $\displaystyle{ax+b}$ και $\displaystyle{x+c}$ ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{h(x)=f(x)(ax+b)+g(x)(x+c)}$ να μην είναι ταυτοτικά μηδενικό, να έχει τον ελάχιστο βαθμό και συντελεστή της ανωτάτης δύναμης του $\displaystyle{x }$ την μονάδα. Να επαληθεύσετε τότε, οτι το ανωτέρω προσδιορισμένο πολυώνυμο $\displaystyle{h(x)}$ είναι ο ΜΚΔ των πολυωνύμων $\displaystyle{f(x)}$ και $\displaystyle{g(x)}$ .

Mε την αντικατάσταση των πολυωνύμων f(x)

και

στο

, παίρνω

Εύκολα βλέπω ότι το πολυώνυμο αυτό δεν μπορεί να είναι το σταθερό και διάφορο του μηδενικού, γιατί τότε θα είχαμε
$a+2=0 , b+2c+3i=0 , a+3ic -1=0 \Rightarrow a=-2 , b=-i , c=-i$ και άρα θα ήταν το μηδενικό, άτοπο.
Θα εξετάσω αν μπορεί το πολυώνυμο αυτό να είναι πρώτου βαθμού. Τότε πρέπει να είναι
a+2=0 , b+2c+3i=0 , a+3ic-1=1

και άρα $a=-2 , c=-\frac{4}{3}i , b=-\frac{1}{3}i$
Έτσι το h(x)

γράφεται:

, το οποίο είναι το μη μηδενικό.
Θα αποδείξω ότι το h(x)

είναι ο ΜΚΔ των f(x) , g(x)

. Είναι

και

Άρα ο ΜΚΔ των f(x)

και

είναι το

.

ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση