Συναρτησιακή εξίσωση (ιζ)

#1

Έστω $\alpha\in\Bbb{Z}_{\geq 0} .$
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+\alpha y+f(y))=x+(\alpha+1)f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ .
Τι γίνεται αν $\alpha\in\Bbb{R}_{\geq 0} ;$

#2

xΓια $\displaystyle{y=0}$ στην αρχική είναι $\displaystyle{f(f(x)+f(0))=x+(a+1)f(0)}$ απ' όπου εύκολα η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1 και ΕΠΙ του $\displaystyle{R+}$ αρα έχει ρίζα $\displaystyle{r}$ ,λογω μοναδικότητας $\displaystyle{f(0)+ar=r}$ ή $\displaystyle{f(0)+(a-1)r=0}$ αφού για $\displaystyle{x=0,y=r\Rightarrow f(f(0))+ar)=0}$

Αν $\displaystyle{a\ge 1}$ επειδή $\displaystyle{f(0)\ge 0,(a-1)r\ge 0}$ θα έχουμε $\displaystyle{f(0)=0}$ και $\displaystyle{(a-1)r=0}$ άρα $\displaystyle{r=0}$ και τότε και $\displaystyle{f(f( x))=x}$

Ειδικά αν $\displaystyle{a=1}$ για $\displaystyle{x=0}$ ,, $\displaystyle{f(y+f(y))=2f(y)}$ αφού $\displaystyle{a=1,f(0)=0}$ και για $\displaystyle{y=f(y)}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(f(y)+y)=2y}$ τότε $\displaystyle{2f(y)=2y,y\ge 0}$ τελικά $\displaystyle{f(y)=y,y\ge }$

Αν $\displaystyle{a=0}$ είναι όπως πριν $\displaystyle{f(f(0)+0r)=0}$ και $\displaystyle{f(f(x)+f(y))=x+f(y)}$ που για $\displaystyle{x=0}$ δίνει $\displaystyle{f(f(0)+f(y))=f(y)}$ ή επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1 $\displaystyle{f(0)+f(y)=y}$ και για $\displaystyle{y=0}$ , $\displaystyle{2f(0)=0}$ άρα $\displaystyle{f(y)=y,y\ge 0}$

Για $\displaystyle{x=f(x) }$ έχουμε $\displaystyle{f(x+y+(a-1)y+f(y))-f(y)=f(x)+af(y)\ge 0}$ και οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος του $\displaystyle{y}$ γράφεται στην μορφή $\displaystyle{x+(a-1)y+f(y)}$ άρα $\displaystyle{f}$ αύξουσα

Τώρα Αν υπάρχει $\displaystyle{x_0\ne f(x_0)}$ πχ $\displaystyle{f(x_0)>x_0}$ τοτε $\displaystyle{x_0=f(f(x_0))>f(x_0)}$ άτοπο οπότε $\displaystyle{f(y)=y,y\ge 0}$

Συναρτησιακή εξίσωση (ιζ)

Συναρτησιακή εξίσωση (ιζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιζ)

Μέλη σε σύνδεση