ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

Εξεταστής Καθηγητής : Γ. Στεργίου

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2+px+q=0}$ και έστω $\displaystyle{x' ,x'' }$ οι ρίζες της.
α) Να σχηματισθεί ως προς $\displaystyle{y}$ εξίσωση που να έχει ρίζες τις $\displaystyle{y'=x'^2}$ και $\displaystyle{y''=x''^2}$
β) Να σχηματισθεί νέα ως προς $\displaystyle{z}$ εξίσωση που να έχει ρίζες $\displaystyle{z'=3y'+2y''}$ και $\displaystyle{ z''=2y'+3y''}$
γ) Να βρεθεί μεταξύ των $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{q}$ συνθήκη στην ως προς $\displaystyle{z}$ εξίσωση, ώστε οι ρίζες της να είναι ίσες,
και με την συνθήκη αυτή να βρεθούν οι ρίζες και των τριων εξισώσεων (ως προς $\displaystyle{x,y,z}$ )

2. Να παρεμβληθούν $\displaystyle{\mu}$ αριθμητικοί μέσοι μεταξύ των αριθμών $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ και να δειχθεί οτι
εαν μεταξύ δυο διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου παρεμβάλλουμε $\displaystyle{\mu}$ σε πλήθος αριθμητικούς μέσους,
τότε οι μερικές προόδοι που προκύπτουν ανήκουν σε μια και μοναδική αριθμητική πρόοδο.

3. Εαν $\displaystyle{\mu^2 x-\mu y+\alpha=0=\nu^2 x-\nu y+\alpha}$ και $\displaystyle{\mu-\nu=\gamma(1+\mu\nu)}$ να δειχτεί ότι $\displaystyle{y^2-4\alpha x=\gamma^2(x+\alpha)^2}$

4. Να υπολογισθεί το άθροισμα $\displaystyle{\alpha^{\nu}+\beta \alpha^{\nu-1}+\beta^2 \alpha^{\nu{\color{red}-2}}+...}$ επ'άπειρον , όταν $\displaystyle{ \alpha>\beta>0}$

edit's
Διόρθωση εκθέτη στο 4ο

ευχαριστώ τον Βαγγέλη (BAGGP93) που το πρόσεξε
Προσθήκη εξεταστή καθηγητή

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

4. Να υπολογισθεί το άθροισμα $\displaystyle{\alpha^{\nu}+\beta \alpha^{\nu-1}+\beta^2 \alpha^{\nu{\color{red}-2}}+...}$ επ'άπειρον , όταν $\displaystyle{ \alpha>\beta>0}$

Εφ' όσον $\displaystyle{0<\frac{\beta}{\alpha}<1}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{\begin{aligned}\alpha^{\nu}+\beta\,\alpha^{\nu-1}+\beta^2\,\alpha^{\nu-2}+...&=\alpha^{\nu}+\sum_{n=1}^{+\infty}\beta^{n}\,\alpha^{\nu-n}\\&=\alpha^{\nu}+\alpha^{\nu}\,\lim_{n\to +\infty}\,\,\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{k}\\&=\alpha^{\nu}+\alpha^{\nu}\,\lim_{n\to +\infty}\,\,\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}\cdot \frac{\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n}-1}{\frac{\beta}{\alpha}-1}\\&=\alpha^{\nu}-\alpha^{\nu}\cdot \frac{\beta}{\alpha}\cdot \frac{\alpha}{\beta-\alpha}\\&=\alpha^{\nu}\left(1-\frac{\beta}{\beta-\alpha}\right)\\&=-\frac{\alpha^{\nu+1}}{\beta-\alpha}\end{aligned}}$

Ηλίας Θ. · #3

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2+px+q=0}\;\;\;(1)$ και έστω $\displaystyle{x' ,x'' }$ οι ρίζες της.
α) Να σχηματισθεί ως προς $\displaystyle{y}$ εξίσωση που να έχει ρίζες τις $\displaystyle{y'=x'^2}$ και $\displaystyle{y''=x''^2}$
β) Να σχηματισθεί νέα ως προς $\displaystyle{z}$ εξίσωση που να έχει ρίζες $\displaystyle{z'=3y'+2y''}$ και $\displaystyle{ z''=2y'+3y''}$
γ) Να βρεθεί μεταξύ των $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{q}$ συνθήκη στην ως προς $\displaystyle{z}$ εξίσωση, ώστε οι ρίζες της να είναι ίσες,
και με την συνθήκη αυτή να βρεθούν οι ρίζες και των τριων εξισώσεων (ως προς $\displaystyle{x,y,z}$ )

Νομίζω η καλύτερη άσκηση που έχω δει στο άθροισμα και γινόμενο των ριζών τριωνύμου! Θα προσπαθήσω να την γράψω αν κι έχει πολύ γράψιμο
α) Στην αρχική εξίσωση (1)

το άθροισμα και γινόμενο των ριζών είναι αντιστοίχως: $S=-p,\;\;P=q$
Έτσι η εξίσωση με άγνωστο τον

έχει άθροισμα ριζών S'=x'^2+x''^2=S^2-2P=p^2-2q

και γινόμενο $P'=(x' \cdot x'')^2=P^2=q^2$
Άρα η εξίσωση με ρίζες τους $y', \;y''$ είναι η $y^2-(p^2-2q)y+q^2=0\;\;\;(2)$

β) Η εξίσωση με ρίζες τους $z',\;z''$ έχει άθροισμα ριζών S''=5y'+5y''=5S'=5(p^2-2q)

και γινόμενο ριζών P''=6y'^2+13y'y''+6y''^2=6(S'^2-2P')+13P'=6(p^2-2q)^2+q^2

Άρα η εξίσωση είναι η z^2-5(p^2-2q)z+6(p^2-2q)^2+q^2=0

γ) Για να έχει η τελευταία, ρίζες ίσες θα πρέπει
$\Delta '' =0 \Leftrightarrow 25(p^2-2q)^2-24(p^2-2q)^2-4q^2=0 \Leftrightarrow (p^2-2q)^2=(2q)^2 \Leftrightarrow p^2=4q \vee p=0$
Για p^2=4q

:
η εξίσωση είναι η z^2-10qz+25q^2=0

με διπλή ρίζα την z=5q

η εξίσωση

γίνεται

με διπλή ρίζα την y=q

η εξίσωση

γίνεται $\displaystyle{x^2+px+\frac{p^2}{4}=0}$ με ρίζα την $x=-\frac{p}{2}$

Για p=0

οι εξισώσεις είναι αντιστοίχως:
z^2+10qz+25q^2=0

με ρίζα την z=-5q

με διπλή ρίζα την y=-q

και

η οποία για q>0

έχει δύο ρίζες μιγαδικές συζυγείς $x=\pm i \sqrt{-q }$ ενώ για q<0

έχει ρίζες τις $x=\pm \sqrt{-q }$

parmenides51 · #4

Με αφορμή την προσθήκη του εξεταστή καθηγητή που μόλις έκανα,
να σας ενημερώσω πως σε όσα θέματα αναφέρεται στα Δελτία του Πάλλα ο εκάστοτε θεματοδότης θα τον προσθέτω
τα ονόματα των περισσοτέρων εξεταστών πριν το 1964, εκείνη την εποχή γίνονταν γνωστά μετά την εξέταση
στα υπόλοιπα θέματα 1964-69, που ανέβασα ήδη δεν αναφερόταν κάποιος άλλος εξεταστής

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση