Σ.Μ.Α 1964 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{O}$ . Πάνω σε ημιευθεία $\displaystyle{Ox}$ παίρνουμε δυο σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{M' }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{(OM) (OM')= (O\Gamma)^2}$ . Να αποδειχθεί οτι :
$\displaystyle{(\widehat{MB,M\Gamma)}+\widehat{(M'B,M'\Gamma)}=2\widehat{A}}$
$\displaystyle{\widehat{(M\Gamma,MA)}+\widehat{(M'\Gamma,M'A)}=2\widehat{B}}$
$\displaystyle{\widehat{(MA,MB)}+\widehat{(M'A,M'B)}=2\widehat{\Gamma}}$

2. Δίνεται κανονικό δωδεκάγωνο $\displaystyle{A_1,A_2,A_3,...,A_{12}}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{O}$ κι ακτίνας $\displaystyle{R}$ . Έστω $\displaystyle{B_1}$ η προβολή της κορυφής $\displaystyle{A_1}$ πάνω στην ακτίνα $\displaystyle{OA_2, B_2}$ η προβολή του $\displaystyle{B_1}$ πάνω στην ακτίνα $\displaystyle{OA_2, B_3}$ η προβολή του $\displaystyle{B_2}$ πάνω στην ακτίνα $\displaystyle{OA_3}$ κ.ο.κ.
Ζητείται να αποδειχτεί οτι το άθροισμα $\displaystyle{(A_1B_1)+(B_1B_2)+(B_2B_3)+...}$ ισούται με $\displaystyle{2R+R\sqrt3}$

3. Δίνεται τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Πάνω στις προεκτάσεις των πλευρών $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ παίρνουμε σημεία $\displaystyle{A'}$ και $\displaystyle{B'}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{AA'=BB'}$ .Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των $\displaystyle{AB' }$ και $\displaystyle{BA'}$ .

4. Έστω $\displaystyle{(\Delta)}$ και $\displaystyle{(\Delta')}$ δυο ευθείες, που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και $\displaystyle{A}$ ένα σημείο, που δεν βρίσκεται πάνω στις ευθείες αυτές. Να κατασκευαστεί μια ευθεία $\displaystyle{(E)}$ , διερχόμενη από το $\displaystyle{A}$ που συναντά την $\displaystyle{(\Delta)}$ σε ένα σημείο $\displaystyle{M}$ , το οποίο να είναι το ίχνος πάνω στην $\displaystyle{(E)}$ της κοινής καθέτου των $\displaystyle{(E)}$ και $\displaystyle{(\Delta')}$ .

5. Να σχεδιάσετε δυο κύκλους που να διέρχονται από δυο δοθέντα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ τέτοιους ώστε οι εφαπτόμενες σε αυτούς στο σημείο $\displaystyle{A}$ να είναι παράλληλες προς δυο δοθείσες ευθείες $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται κανονικό δωδεκάγωνο $\displaystyle{A_1,A_2,A_3,...,A_{12}}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{O}$ κι ακτίνας $\displaystyle{R}$ . Έστω $\displaystyle{B_1}$ η προβολή της κορυφής $\displaystyle{A_1}$ πάνω στην ακτίνα $\displaystyle{OA_2, B_2}$ η προβολή του $\displaystyle{B_1}$ πάνω στην ακτίνα $\displaystyle{OA_2, B_3}$ η προβολή του $\displaystyle{B_2}$ πάνω στην ακτίνα $\displaystyle{OA_3}$ κ.ο.κ.
Ζητείται να αποδειχτεί οτι το άθροισμα $\displaystyle{(A_1B_1)+(B_1B_2)+(B_2B_3)+...}$ ισούται με $\displaystyle{2R+R\sqrt3}$

εδώ

Σ.Μ.Α 1964 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α 1964 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α 1964 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση