Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

niksotirop · #1

Θέλω τη βοήθειά σας σε μια άσκηση που διάβασα σε ένα... βιβλίο.
Άσκηση:
Δίνεται μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,+\propto )\rightarrow R$ με $f\left(\sqrt{x} \right)=e^{-2\sqrt{x}}$ . Να βρείτε την f'(0)

.
Η απορία μου είναι είναι αν είναι σωστή η εκφώνηση δίνοντας ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\propto )$ .
Με ποιόν τρόπο λύνεται??
Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.

abgd · #2

Υπόδειξη:
Μπορείς να βρεις τον τύπο της συνάρτησης.

...όσο για την εκφώνηση, θα έπρεπε να είναι ζητούμενο η παραγωγισιμότητα της συνάρτησης.

niksotirop · #3

Επανέρχομαι με το ερώτημα, αν υπάρχει και και ποια είναι η τιμή της παραγώγου της

στο

?, αφού η $\sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο

.

abgd · #4

Μια αυστηρά φιλική συμβουλή: Θα μάθεις μαθηματικά αν προσπαθείς να απαντάς μόνος σου σε ερωτήματα που σου δημιουργούνται. Διαφορετικά, θα χάσεις την ομορφιά και τη μαγεία των μαθηματικών όσες γνώσεις και να αποκτήσεις!

niksotirop · #5

abgd έγραψε:Μια αυστηρά φιλική συμβουλή: Θα μάθεις μαθηματικά αν προσπαθείς να απαντάς μόνος σου σε ερωτήματα που σου δημιουργούνται. Διαφορετικά, θα χάσεις την ομορφιά και τη μαγεία των μαθηματικών όσες γνώσεις και να αποκτήσεις!

Αγαπητέ, ευχαριστώ για τη συμβουλή σου... αλλά, θα ήθελα να διασταυρώσω αυτά που σκέπτομαι και με κάποιον άλλο,
διότι εγώ νομίζω ότι δεν υπάρχει στο R η τιμή της ζητούμενης παραγώγου. Εγώ βρίσκω ότι είναι $-\propto$ . Ενώ στο βιβλίο η απάντηση είναι:
Θέτω $u=\sqrt{x}$ , οπότε είναι $f(u)=e^{-2u}$ . Άρα $f' (u)=(e^{-2u})' =-2e^{-2u}\Rightarrow f'(0)=-2$ .

niksotirop · #6

Αυτό που γράφω πιο κάτω έχει κάπου λάθος???
Θέτω $f(x)=e^{-2x} , g(x)=\sqrt{x}$ , οπότε είναι $h(x)=f(g(x))=f\left(\sqrt{x} \right)=e^{-2\sqrt{x}}$ . Άρα

$h'(0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{e^{-2\sqrt{x}}-1}{x}=(0/0) =D'LH=...=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}e^{-2x}\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)=1(-\propto )=-\propto$ .

kostas_zervos · #7

niksotirop έγραψε:Αυτό που γράφω πιο κάτω έχει κάπου λάθος???
Θέτω $f(x)=e^{-2x} , g(x)=\sqrt{x}$ , οπότε είναι $h(x)=f(g(x))=f\left(\sqrt{x} \right)=e^{-2\sqrt{x}}$ . Άρα

$h'(0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{e^{-2\sqrt{x}}-1}{x}=(0/0) =D'LH=...=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}e^{-2x}\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)=1(-\propto )=-\propto$ .

Η

δεν υπάρχει , αλλά η f'(0)

υπάρχει.

π.χ. f(x)=x

με

και $h(x)=f(\sqrt{x})=\sqrt{x}$ , όπου η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

.

Με την διαδικασία που ακολούθησες απλώς απέδειξες ότι δεν υπάρχει η h'(0)

.

Πρόσεξε , άλλη συνάρτηση είναι η

και άλλη η

.

Christos.N · #8

'Ίσως αυτό σε βοηθήσει λίγο περισσότερο.

$\displaystyle{ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{f(x) - f(0)}}{x}\mathop = \limits^{x = \sqrt u } \mathop {\lim }\limits_{u \to 0^ + } \frac{{f(\sqrt u ) - f(0)}}{{\sqrt u }} = .... }$

niksotirop · #9

Πρώτα από όλα σας ευχαριστώ για τα σχόλιά σας και τις υποδείξεις σας. Αλλά συνεχίζω να έχω την παρακάτω απορία σε σχέση με τον τρόπο που υπολογίζει στο βιβλίο την .
Θα ήθελα να παρακολουθήσετε την παρακάτω σκέψη μου.
Η σχέση που δίνεται είναι η εξής: $f\left(\sqrt{x} \right)=e^{-2\sqrt{x}}$ . Και.... σκέπτομαι.
Αν θέσω $u(x)=\sqrt{x}$ θα είναι $f\left(u(x) \right)=e^{-2u(x)}$ , οπότε στο βιβλίο κάνει κάτι τέτοιο (δηλ. παραγωγίζει σύνθεση).
$\left(f\left(u(x) \right) \right)'=\left(e^{-2u(x)} \right)'\Rightarrow f'\left(u(x) \right)u'(x)=e^{-2u(x)}u'(x)$ , δηλαδή
$f'\left(\sqrt{x} \right)\frac{1}{2\sqrt{x}}=\left(e^{-2\sqrt{x}} \right)'=e^{-2\sqrt{x}}(\frac{-1}{\sqrt{x}})\Rightarrow f'\left(\sqrt{x} \right)=-2e^{-2\sqrt{x}}$
και μετά βάζει χ=0 και υπολογίζει την f'(0)=-2

.
ΑΛΛΑ πιστεύω ότι εδώ γίνεται ένα λάθος , αφού για να φτασει ως εδώ παραγωγίζει και την $\sqrt{x}$
και όλα αυτά έχουν νόημα για x > 0

. Πώς μετά βάζει χ = 0

αφού $\left(x\neq 0 \right)$ .
Νομίζω ότι για να ήταν σωστός θα πρέπει την παράγωγο στο 0 να την υπολογίσει με το όριο, η οποία όντως βγαίνει

με όριο.
Ευχαριστώ για την υπομονή σας και τον χρόνο σας. Περιμένω τα σχόλιά σας.

kostas_zervos · #10

niksotirop έγραψε:Πρώτα από όλα σας ευχαριστώ για τα σχόλιά σας και τις υποδείξεις σας. Αλλά συνεχίζω να έχω την παρακάτω απορία σε σχέση με τον τρόπο που υπολογίζει στο βιβλίο την .
Θα ήθελα να παρακολουθήσετε την παρακάτω σκέψη μου.
Η σχέση που δίνεται είναι η εξής: $f\left(\sqrt{x} \right)=e^{-2\sqrt{x}}$ . Και.... σκέπτομαι.
Αν θέσω $u(x)=\sqrt{x}$ θα είναι $f\left(u(x) \right)=e^{-2u(x)}$ , οπότε στο βιβλίο κάνει κάτι τέτοιο (δηλ. παραγωγίζει σύνθεση).
$\left(f\left(u(x) \right) \right)'=\left(e^{-2u(x)} \right)'\Rightarrow f'\left(u(x) \right)u'(x)=e^{-2u(x)}u'(x)$ , δηλαδή
$f'\left(\sqrt{x} \right)\frac{1}{2\sqrt{x}}=\left(e^{-2\sqrt{x}} \right)'=e^{-2\sqrt{x}}(\frac{-1}{\sqrt{x}})\Rightarrow f'\left(\sqrt{x} \right)=-2e^{-2\sqrt{x}}$
και μετά βάζει χ=0 και υπολογίζει την .
ΑΛΛΑ πιστεύω ότι εδώ γίνεται ένα λάθος , αφού για να φτασει ως εδώ παραγωγίζει και την $\sqrt{x}$
και όλα αυτά έχουν νόημα για x > 0 . Πώς μετά βάζει χ = 0 αφού $\left(x\neq 0 \right)$ .
Νομίζω ότι για να ήταν σωστός θα πρέπει την παράγωγο στο 0 να την υπολογίσει με το όριο, η οποία όντως βγαίνει -2 με όριο.
Ευχαριστώ για την υπομονή σας και τον χρόνο σας. Περιμένω τα σχόλιά σας.

Το

που θέτει είναι ανεξάρτητη μεταβλητή. Δεν πρόκειται για συνάρτηση.

π.χ. f(x^2)=x^4+2x^2+1

, άρα για κάθε $t\geq 0$ έχουμε f(t)=t^2+2t+1

ή για κάθε $x\geq 0$ έχουμε f(x)=x^2+2x+1

.

Έχει να κάνει με το ότι η x^2

έχει σύνολο τιμών το $[0,+\infty)$ , οπότε για κάθε $t\geq 0$ υπάρχει $x\in\Bbb{R}$ ώστε x^2=t

, άρα για κάθε $t\geq 0$ έχουμε f(t)=t^2+2t+1

.

Όμοια στο δικό σου παράδειγμα:

$f(\sqrt{x})=e^{-2\sqrt{x}}$ ,

Η $g(x)=\sqrt{x}$ έχει σύνολο τιμών το $[0,+\infty)$ , άρα για κάθε $t\geq 0$ υπάρχει $x\geq 0$ ώστε $\sqrt{x}=t$ , άρα για κάθε $t\geq 0$ έχουμε $f(t)=e^{-t}$ ή αλλιώς για κάθε $x\geq 0$ έχουμε $f(x)=e^{-x}$ .

Άλλο ένα πιο δύσκολο παράδειγμα: $f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=x^2+\dfrac{1}{x^2}\;,\;x\neq 0$ .

Η $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$ έχει σύνολο τιμών το $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ .

Επίσης $f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2$ .

Για κάθε $t\in (-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ , υπάρχει $x\neq 0$ , ώστε $t=x+\dfrac{1}{x}$ , άρα για κάθε $t\in (-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ έχουμε f(t)=t^2-2

, επομένως για κάθε $x\in (-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ έχουμε f(x)=x^2-2

.

Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Re: Μια απορία..., εύρεση παραγώγου σε σημείο

Μέλη σε σύνδεση