ΓΡΑΜΜΕΣ ΑΠΟ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

kostas_zervos · #1

: ask213.png (86.1 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Το σημείο

κινείται στην παραβολή $C:y=\dfrac{1}{2}x^2$ .

Η κάθετη στην εφαπτόμενη της (C)

στο A τέμνει την παραβολή και στο

.

α)Να μελετηθεί η γραμμή στην οποία ανήκει το μέσο του

.
β)Αν η εφαπτόμενη στο

τέμνει τον y'y

στο

, τότε να μελετηθεί η γραμμή στην οποία ανήκει το μέσο του

.

konstantogeo · #2

Μια προσπάθεια (με επιφύλαξη) για το α)
Έστω $\displaystyle A\left(x_{0},\frac{x_{0}^2}{2} \right)$
Η εφαπτομένη $\left(\varepsilon \right)$ της παραβολής στο Α έχει εξίσωση $\left(\varepsilon \right): x\cdot x_{0}=y+y_{0}\Leftrightarrow y=x\cdot x_{0}-\frac{1}{2}x_{0}^2$ με $\lambda _{\varepsilon }=x_{0}$
η κάθετη, έστω $\zeta$ της $\left(\varepsilon \right)$ στο Α έχει $\lambda _{\zeta }=-\frac{1}{x_{0}}$ και
εξίσωση: $\left(\zeta \right):y-\frac{x_{0}^2}{2}=-\frac{1}{x_{0}}\left(x-x_{0} \right)$
Το σύστημα των $C,\left(\zeta \right)$ δίνει:
$\frac{x^2-x_{0}^2}{2}=-\frac{1}{x_{0}}\left(x-x_{0} \right)\Leftrightarrow \frac{x+x_{0}}{2}=-\frac{1}{x_{0}}\Leftrightarrow x=-x_{0}-\frac{2}{x_{0}}\Leftrightarrow x=-\frac{x_{0}^2+2}{x_{0}}$ και $y=\frac{\left(x_{0}^2+2 \right)^2}{2x_{0}^2}$ . Συνεπώς $B\left( -\frac{x_{0}^2+2}{x_{0}} ,\frac{\left(x_{0}^2+2 \right)^2}{2x_{0}^2}\right)$ . Το μέσο

του τμήματος

είναι $N\left(-\frac{1}{x_{0}},\frac{x_{0}^2}{2}+1+\frac{1}{x_{0}^2} \right)$
Για $x=-\frac{1}{x_{0}}\Leftrightarrow x_{0}=-\frac{1}{x}$ οπότε $y=\frac{1}{2x^2}+1+x^2$
Η $f(x)=\frac{1}{2x^2}+1+x^2$ ορίζεται για $x\neq 0$ με $\lim_{x\to0}f(x)=+\propto$
Τώρα $f^\prime(x)=\frac{2x^4-1}{x^3}$ και $f^\prime(x)=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$
Εν τέλει η

είναι γνησίως φθίνουσα στα $\left(-\propto ,-\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right)$ και $\left(0,\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right)$
και γνησίως αύξουσα στα $\left(-\frac{1}{\sqrt[4]{2}},0 \right)$ και $\left(\frac{1}{\sqrt[4]{2}},\propto \right)$
Παρουσιάζει ελάχιστο στα $x_{1}=-\frac{1}{\sqrt[4]{2}},x_{2}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ με $f\left( x_{1}\right)=f\left( x_{2}\right)=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
Μάλλον πρόκειται για δύο παραβολές ,μια στο πρώτο και μια στο δεύτερο τεταρτημόριο,συμμετρικές μεταξύ τους με άξονα συμμετρίας τον

ΓΡΑΜΜΕΣ ΑΠΟ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΓΡΑΜΜΕΣ ΑΠΟ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

Re: ΓΡΑΜΜΕΣ ΑΠΟ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

Μέλη σε σύνδεση