6+ τρόποι

#1

Το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,}$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma \,\,\,\,}$ , η $\displaystyle{\,\,{\rm B}{\rm E}\,\,\,\,}$ είναι διάμεσος και $\displaystyle{\,\,\Gamma \Delta = \Gamma {\rm A}\,\,\,}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}\,\,\,}$ .

Υ.Γ. Μπορεί να γίνουν $\displaystyle{\,\,6 + \,\,\,}$ διαφορετικές αποδείξεις . Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση στη χρήση της βοηθητικής γραμμής .

hlkampel · #2

exdx έγραψε:Το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,}$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma \,\,\,\,}$ , η $\displaystyle{\,\,{\rm B}{\rm E}\,\,\,\,}$ είναι διάμεσος και $\displaystyle{\,\,\Gamma \Delta = \Gamma {\rm A}\,\,\,}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}\,\,\,}$ .

Ας ξεκινήσω με έναν τρόπο.

Αν ${\rm Z}$ μέσο του ${\rm B}\Delta$ , τότε $\displaystyle\Gamma {\rm Z}// = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2} = \frac{{\Gamma \Delta }}{2}$ (1) γιατί ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm A}\Delta$ και ${\rm B}\Delta$ του τριγώνου ${\rm B}\Delta$ .

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm E}{\rm B}$ και $\Gamma \Delta {\rm Z}$ είναι ίσα αφού έχουν:

$\Gamma \Delta = {\rm A}\Gamma = {\rm A}{\rm B}$ από υπόθεση

$\displaystyle\Gamma {\rm Z} = {\rm A}{\rm E} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}$ και

$\widehat {\rm A} = \widehat {\Delta \Gamma {\rm Z}}$ ως εντός εκτός επί τα αυτά.

Έτσι $\displaystyle\Delta {\rm Z} = {\rm B}{\rm E} \Rightarrow \frac{{{\rm B}\Delta }}{2} = {\rm B}{\rm E} \Rightarrow {\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}$

hlkampel · #3

exdx έγραψε:Το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,}$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma \,\,\,\,}$ , η $\displaystyle{\,\,{\rm B}{\rm E}\,\,\,\,}$ είναι διάμεσος και $\displaystyle{\,\,\Gamma \Delta = \Gamma {\rm A}\,\,\,}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}\,\,\,}$ .

Άλλος ένας.

Αν ${\rm H}$ το μέσο της ${\rm A}{\rm B}$ τότε ${\rm B}{\rm E} = \Gamma {\rm H}$ (1) ως διάμεσοι στις ίσες πλευρές ισοσκελούς τριγώνου.

$\displaystyle\Gamma {\rm H} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {\rm B}{\rm E} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{2} \Rightarrow {\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}$ αφού το $\Gamma {\rm H}$ ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm A}\Delta$ και ${\rm A}{\rm B}$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Delta$

#4

exdx έγραψε:Το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,}$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma \,\,\,\,}$ , η $\displaystyle{\,\,{\rm B}{\rm E}\,\,\,\,}$ είναι διάμεσος και $\displaystyle{\,\,\Gamma \Delta = \Gamma {\rm A}\,\,\,}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}\,\,\,}$ .

Υ.Γ. Μπορεί να γίνουν $\displaystyle{\,\,6 + \,\,\,}$ διαφορετικές αποδείξεις . Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικοίωση στη χρήση της βοηθητικής γραμμής .

: 6+ τρόποι.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 1507 φορές

Προεκτείνω τη

κατά τμήμα EZ=BE

, οπότε το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm Z}}$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = Z\Gamma = {\rm A}\Gamma = \Gamma \Delta }$
Τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm B}{\rm Z}\Gamma ,{\rm B}\Delta \Gamma }$ είναι ίσα ( $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ κοινή πλευρά, $\displaystyle{\Gamma {\rm Z} = \Gamma \Delta }$ και $\displaystyle{{\rm Z}\widehat \Gamma {\rm B} = {180^0} - \widehat {\rm B} = {180^0} - \widehat \Gamma = \Delta \widehat \Gamma {\rm B}}$ , όπου $\displaystyle{\widehat {\rm B},\widehat \Gamma }$ οι γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ).

Άρα $\displaystyle{{\rm B}\Delta = {\rm B}{\rm Z} = 2{\rm B}{\rm E}}$ .

Ιστοσελίδα · #5

Καλημέρα.

: 6+-τρόποι.jpg (23.18 KiB) Προβλήθηκε 1488 φορές

${\rm M}{\rm N} = {\rm E}{\rm Z} = \dfrac{{\Gamma {\rm B}}}{2}$ , ${\rm M}\Delta = {\rm Z}{\rm B}$ και $\Delta \widehat {\rm M}{\rm N} = {\rm E}\widehat {\rm Z}{\rm B}$ σαν παραπληρωματικές ίσων γωνιών. Από $\triangleleft {\rm M}\Delta {\rm N} = \triangleleft {\rm Z}{\rm E}{\rm B} \Rightarrow \Delta {\rm N} = \dfrac{{{\rm B}\Delta }}{2} = {\rm B}{\rm E}$ .

apotin · #6

: isoskeles.png (10.42 KiB) Προβλήθηκε 1441 φορές

Από το $\displaystyle{\Gamma }$ φέρνουμε παράλληλη προς την $\displaystyle{EB}$ που τέμνει την προέκταση της $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
Τότε στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Gamma {\rm Z}}$ επειδή το $\displaystyle{E}$ είναι μέσον της πλευράς $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ θα έχουμε το $\displaystyle{B}$ μέσον της πλευράς $\displaystyle{AZ}$ , οπότε $\displaystyle{{\rm E}{\rm B} = \frac{{\Gamma {\rm Z}}}{2}}$ .
Τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta }$ και $\displaystyle{{\rm A}\Gamma {\rm Z}}$ είναι ίσα γιατί έχουν:
1) τη γωνία $\displaystyle{{\hat {\rm A}}}$ κοινή
2) $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma }$
3) $\displaystyle{{\rm A}\Delta = {\rm A}{\rm Z}}$
Άρα $\displaystyle{{\rm B}\Delta = \Gamma {\rm Z} = 2{\rm B}{\rm E}}$

Ιστοσελίδα · #7

Και μια λύση με ομοιότητα…

: 6+-τρόποι_2.jpg (19.43 KiB) Προβλήθηκε 1399 φορές

Από το $\Delta$ φέρω παράλληλη προς την $\Gamma {\rm B}$ , η οποία τέμνει την ${\rm A}{\rm B}$ στο ${\rm Z}$ . Είναι ${\rm E}\widehat \Gamma {\rm B} = {\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {\rm B}\widehat {\rm Z}\Delta$ και $\dfrac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm E}\Gamma }} = \dfrac{{\Delta {\rm Z}}}{{\Gamma {\rm B}}} = 2$ , συνεπώς $\triangleleft {\rm B}{\rm Z}\Delta \sim \triangleleft {\rm E}\Gamma {\rm B}$ , οπότε ${\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}$ .

Ιστοσελίδα · #8

: 6+-τρόποι_3.jpg (23.05 KiB) Προβλήθηκε 1386 φορές

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο $\Delta {\rm A}{\rm B}{\rm Z}$ . Είναι $\triangleleft \Delta {\rm Z}{\rm B} \sim \triangleleft {\rm E}{\rm A}{\rm B}$ $\left( {\dfrac{{\Delta {\rm Z}}}{{{\rm E}{\rm A}}} = \dfrac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = 2\,\,\& \,\,\widehat {\rm Z} = \widehat {\rm A}} \right)$ και το ζητούμενο έπεται.

KARKAR · #9

: 6+.png (12.48 KiB) Προβλήθηκε 1343 φορές

Αν

το συμμετρικό του

ως προς

, τότε το συμμετρικό

του

είναι το μέσο

της CA'

, το οποίο λόγω του παραλληλογράμμου BCDA'

είναι και μέσο της

.

Ιστοσελίδα · #10

: 6+-τρόποι_4.jpg (24.51 KiB) Προβλήθηκε 1286 φορές

Προεκτείνω την $\Gamma {\rm A}$ κατά ίσο τμήμα ${\rm A}{\rm Z}$ και προφανώς $\Gamma \widehat {\rm B}{\rm Z} = {90^ \circ }$ . Αν ${\rm M},{\rm N}$ τα μέσα των ${\rm B}{\rm Z},{\rm B}{\rm M}$ αντίστοιχα, τότε ${\rm B}\Delta = 2{\rm E}{\rm M} = 2{\rm E}{\rm B}$ ( ${\rm E}{\rm N}$ διάμεσος και ύψος στο $\triangleleft {\rm E}{\rm B}{\rm M}$ ).

#11

Προεκτείνουμε τη $\displaystyle{\,{\rm B}{\rm E}\;\;}$ κατά ίσο τμήμα $\displaystyle{\;{\rm E}{\rm Z}\,\,\,\,}$ και φέρνουμε τη $\displaystyle{\,\,\Gamma {\rm Z}\,\,\,}$ . Τότε τα $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}{\rm A}{\rm E}\,,\,\,\Gamma {\rm E}{\rm Z}\,\,}$ είναι ίσα , οπότε $\displaystyle{\,\,{\widehat\Gamma _1} = \widehat{\rm A}\,\,\,\,\,,\,\,\widehat{\rm Z} = {\widehat{\rm B}_{1\,\,\,,\,\,}}\Gamma {\rm Z} = {\rm A}{\rm B}\,}$ .Τότε $\displaystyle{\,\,\widehat{\Delta \Gamma {\rm B}} = \widehat{\rm A} + \widehat{{\rm A}{\rm B}\Gamma } = {\widehat\Gamma _1} + \widehat{{\rm B}\Gamma {\rm A}} = \widehat{{\rm Z}\Gamma {\rm B}}\,\,\,\,,\,\,\,\Delta \Gamma = \Gamma {\rm Z}}$
οπότε τα τρίγωνα $\displaystyle{\,\,\Delta \Gamma {\rm B}\,\,,\,\,{\rm Z}\Gamma {\rm B}\,\,\,}$ είναι ίσα και συνεπώς $\displaystyle{\,\,\,\,\Delta {\rm B} = {\rm B}{\rm Z} = 2{\rm B}{\rm E}\,\,\,\,}$

#12

Προεκτείνουμε τη $\displaystyle{\,\,\Gamma {\rm B}\;\;}$ κατά ίσο τμήμα $\displaystyle{\,{\rm B}{\rm Z}\,\,}$ και φέρνουμε την $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm Z}\,\,}$ .
Ακόμα $\displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm A}{\rm B}{\rm Z}} = \widehat{\Delta \Gamma {\rm B}}\,\,\,\,}$ , οπότε τα $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}{\rm Z},\Delta \Gamma {\rm B}\,\,}$ είναι ίσα ,άρα $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z} = \Delta {\rm B}\,\,}$ .
Τότε : $\displaystyle{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Delta {\rm{B}} = {\rm A}{\rm{Z}} = 2{\rm{BE}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }$

#13

Συγκέντρωσα τις λύσεις σε ένα Pdf . Αντικατέστησα όμως τα σχήματα με ένα ενιαίο, ώστε να φαίνονται
καθαρά οι βοηθητικές γραμμές που φέρνει ο λύτης ανάλογα με την έμπνευση του.

Το Pdf εδώ

flora · #14

Έχω να προτείνω ακόμα έναν τρόπο με ομοιότητα τριγώνων, χωρίς βοηθητικές γραμμές:

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm E}{\rm B}$ και ${\rm A}{\rm B}\Delta$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\dfrac{1}{2}$ , επειδή έχουν κοινή τη γωνία ${\rm A}$ και $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{A\Gamma }} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{A\Gamma }}{{A\Delta }} = \dfrac{{AB}}{{A\Delta }}$ .
( ${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma ,\,{\rm A}\Delta = 2{\rm A}\Gamma ,\,{\rm A}\Gamma = 2{\rm A}{\rm E}$ από υπόθεση).

Άρα και οι τρίτες πλευρές τους θα έχουν τον ίδιο λόγο $\dfrac{{EB}}{{B\Delta }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow B\Delta = 2BE$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #15

exdx έγραψε:Το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,}$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma \,\,\,\,}$ , η $\displaystyle{\,\,{\rm B}{\rm E}\,\,\,\,}$ είναι διάμεσος και $\displaystyle{\,\,\Gamma \Delta = \Gamma {\rm A}\,\,\,}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}\,\,\,}$ .

Υ.Γ. Μπορεί να γίνουν $\displaystyle{\,\,6 + \,\,\,}$ διαφορετικές αποδείξεις . Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση στη χρήση της βοηθητικής γραμμής .

Γιώργη,για να πιάσουμε το 13-αρι..

Αν $\displaystyle{Z}$ μέσον της $\displaystyle{CD}$ ,προφανώς $\displaystyle{EZ = AB=AC}$ .Έστω ακόμη $\displaystyle{N}$ μέσον της $\displaystyle{BD}$ .Τότε, $\displaystyle{ZN//CB}$
$\displaystyle{CN = //\frac{{AB}}{2} = \frac{{EZ}}{2} = EC = CZ \Rightarrow EN \bot ZN \Rightarrow EN \bot CB}$ κι επειδή $\displaystyle{EC = CN \Rightarrow BC}$ μεσοκάθετος της $\displaystyle{EN \Rightarrow EB = BN \Rightarrow \boxed{BD = 2EB}}$

Ιστοσελίδα · #16

Καλημέρα.

: 6+-τρόποι_5.png (21.57 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

Αν ${\rm M}$ μέσο της ${\rm B}\Gamma$ , τότε $\triangleleft {\rm B}\Gamma \Delta \sim \triangleleft {\rm B}{\rm M}{\rm E}$ με λόγο 2:1

, συνεπώς ${\rm B}\Delta = 2{\rm B}{\rm E}$ .

6+ τρόποι

6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Re: 6+ τρόποι

Μέλη σε σύνδεση