Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

#1

Ήμουνα ακόμα φοιτητής , όταν το μυαλό μου βασάνιζε η ιδέα του συμπαγούς χώρου. Δε χωράει αμφιβολία ότι η κλασική μέθοδος με την οποία διδασκόμασταν ως φοιτητές(τις δεκαετίες του 70 και του 80) τα μαθηματικά και ειδικά τις έννοιες της ανάλυσης και της τοπολογίας , ήταν η χειρότερη επιλογή : Ορισμός-θεώρημα-απόδειξη- πρόταση και πάλι από την αρχή.Ο ορισμός του συμπαγούς συνόλου :

'' Κάθε ανοικτό κάλυμα έχει πεπερασμένο υποκάλυμα ''

μου φαίνεται ο πιο δυσνόητος ορισμός που συνάντησα ποτέ !!! Μπορεί τώρα που τον μελετάω πιο προσεκτικά να φαίνεται ότι '' κάτι '' λέει, το πρόβλημα όμως παραμένει :
Τι παραπάνω έχει ένα συμπαγές σύνολο από πχ ένα κλειστό κλπ, πώς καταλαβαίνουμε ότι ένα σύνολο είναι συμπαγές,τι κριτήρια διαθέτουμε, πώς θα μπορούσε εναλλακτικά να δοθεί αυτός ο ορισμός, πώς θα μπορούσε κάποιος να βάλει στον ορισμό τις ακολουθίες κλπ ; .

Σήμερα, μετά από τόσα χρόνια και τις τόσες συζητήσεις που έχουν γίνει για τον τρόπο εισαγωγής μιας έννοιας, θα ήθελα να προσπαθήσουμε να φωτίσουμε αυτή τη σημαντική έννοια, ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητή από το δευτεροετή φοιτητή .Παράλληλα μπορούμε να παραθέσουμε και τις σχετικές προτάσεις που είναι συνδεδεμένες με αυτή την έννοια.
Εννοείται ότι παραδείγματα από την πραγματική ευθεία και το επίπεδο είναι τελείως απαραίτητα.

Μπάμπης

#2

Μπάμπη το πρώτο πράγμα που περνάει από το μυαλό μου είναι ότι κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε συμπαγές σύνολο πιάνει σ' αυτό μέγιστη και ελάχιστη τιμή, κάτι που δεν ισχύει πάντα στην περίπτωση του κλειστού συνόλου (στην περίπτωση της xy=1

και του $[1, \infty)$ για παράδειγμα).

Σε δεύτερη φάση σημαντική θα ήταν μία απόδειξη του Θεωρήματος του Rolle (όπου παίζει καίριο ρόλο η συμπάγεια αν θυμάμαι καλά, και το οποίο δεν ξέρω αν αποδεικνύεται στο μάθημα της Τοπολογίας όπως διδάσκεται στα Ελληνικά πανεπιστήμια): το θεώρημα αυτό μάλλον θα το θυμάται ακόμη ο δευτεροετής φοιτητής, ίσως μάλιστα να θυμάται και ότι ποτέ κανείς δεν του το απέδειξε

Γιώργος Μπαλόγλου

kostas_zervos · #3

Μπάμπη καλησπέρα...

Πάρα πολύ καλή η πρωτοβουλία που πήρες! Νομίζω ότι θα μας βοηθήσει όλους μας στην καλύτερη κατανόηση τέτοιων εννοιών.

Γράφω μερικές σκόρπιες παρατηρήσεις...

$\bullet$ Ένα συμπαγές υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι υποχρεωτικά και κλειστό (και φραγμένο).

Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει σε οποιοδήποτε μετρικό χώρο , όμως στο $\Bbb{R}$ και γενικότερα στον $\Bbb{R}^n$ κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του είναι συμπαγές.

$\bullet$ Ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ότι κάθε ακολουθία έχει συγλίνουσα υπακολουθία.

π.χ. Στον $\Bbb{R}$ , το $(0,+\infty)$ δεν είναι συμπαγές γιατί η ακολουθία a_n=n

δεν έχει συγλίνουσα υπακουλουθία.

Επίσης δεν είναι συμπαγές γιατί το ανοικτό κάλυμμα $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}(0,n)$ δεν έχει πεπερασμένο υποκάλυμα.

Για παρόμοιους λόγους το $\Bbb{R}$ δεν είναι συμπαγές (π.χ. το ανοικτό κάλυμα $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)$ δεν έχει πεπερασμένο υποκάλυμα).

Ιστοσελίδα · #4

Από το άρθρο "Συμπάγεια και συμπαγοποίηση" του Terence Tao.

Στα μαθηματικά είναι γνωστό ότι η συμπεριφορά των πεπερασμένων συνόλων και η συμπεριφορά των άπειρων συνόλων
μπορεί να είναι κάπως διαφορετική. Για παράδειγμα, κάθε ένας από τους ακόλουθους ισχυρισμούς είναι εύκολο να
δούμε ότι είναι αληθείς όταν το

είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, αλλά είναι ψευδείς όταν το

είναι ένα άπειρο σύνολο:
$\bullet$ (Όλες οι συναρτήσεις είναι φραγμένες) Αν $f:X\to \mathbb{R}$ είναι μια πραγματική συνάρτηση, τότε η

είναι φραγμένη.
$\bullet$ (Όλες οι συναρτήσεις παίρνουν μέγιστο) Αν $f:X\to \mathbb{R}$ είναι μια πραγματική συνάρτηση,
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0\in X$ τέτοιο ώστε $f(x_0)\geq f(x)$ για κάθε $x\in X$ .
$\bullet$ (Όλες οι ακολουθίες έχουν σταθερή υπακολουθία) Αν $x_1,x_2, \ldots \in X$ είναι μία ακολουθία σημείων του

, τότε
υπάρχει υπακολουθία $x_{n_1},x_{n_2},\ldots$ η οποία είναι σταθερή, $x_{n_1}=x_{n_2}=\ldots =c$ για κάποιο $c\in X$ .
$\bullet$ (Όλα τα καλύμματα έχουν πεπερασμένα υποκαλύμματα) Αν $V_1,V_2,\dots \subset X$ είναι μια συλλογή από
σύνολα ώστε $X=\bigcup_{n=1}^{\infty}V_n$ τότε υπάρχει πεπερασμένη υποσυλλογή αυτών με $X=V_{n_1}\cup\ldots\cup V_{n_k}$ .

..........................

Έως εδώ έχουμε θεωρήσει το

ως ένα σύνολο. Ωστόσο, σε μερικές περιοχές των μαθηματικών επιθυμούμε
να εισάγουμε τα αντικείμενά μας με επιπρόσθετες δομές, όπως η τοπολογική, η μετρική, κλπ Τότε αποδεικνύεται ότι
τέτοια αντικείμενα αποκτούν ιδιότητες παρόμοιες με τα πεπερασμένα σύνολα. Στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων
και μετρικών χώρων, αυτά τα "σχεδόν πεπερασμένα" αντικείμενα είναι γνωστά ως συμπαγείς χώροι.

........................

Ένα καλό παράδειγμα ενός συμπαγούς συνόλου είναι το X=[0,1]

. Αυτό είναι ένα άπειρο σύνολο, έτσι οι
προηγούμενοι τέσσερις ισχυρισμοί είναι ψευδείς. Αν τροποποιήσουμε καθε έναν από αυτούς εισάγοντας τοπολογικές
έννοιες όπως η συνέχεια, η σύγκλιση και ανοικτότητα τότε μπορούμε να επαναφέρουμε αυτούς τους ισχυρισμούς για το [0,1]

.
$\bullet$ (Όλες οι συνεχείς συναρτήσεις είναι φραγμένες) Αν $f:X\to \mathbb{R}$ είναι μια πραγματική συνεχής συνάρτηση, τότε η

είναι φραγμένη.
$\bullet$ (Όλες οι συνεχείς συναρτήσεις παίρνουν μέγιστο) Αν $f:X\to \mathbb{R}$ είναι μια πραγματική συνεχής συνάρτηση, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον
$x_0\in X$ τέτοιο ώστε $f(x_0)\geq f(x)$ για κάθε $x\in X$ .
$\bullet$ (Όλες οι ακολουθίες έχουν συγκλίνουσα υπακολουθία) Αν $x_1,x_2, \ldots \in X$ είναι μία ακολουθία σημείων του

, τότε
υπάρχει υπακολουθία $x_{n_1},x_{n_2},\ldots$ η οποία συγκλίνει σε κάποιο $c\in X$ .
$\bullet$ (Όλα τα ανοικτά καλύμματα έχουν πεπερασμένα υποκαλύμματα) Αν $V_1,V_2,\dots \subset X$ είναι μια συλλογή από ανοικτά
σύνολα ώστε $X=\bigcup_{n=1}^{\infty}V_n$ τότε υπάρχει πεπερασμένη υποσυλλογή αυτών με $X=V_{n_1}\cup\ldots\cup V_{n_k}$ .

............................

kostas_zervos · #5

Βασικά για να εισάγουμε την έννοια της συμπάγειας χρειαζόμαστε αρκετές έννοιες και θεωρήματα.

Παραθέτω μερικά που αφορούν τη συμπάγεια για να μας βοηθήσουν να εξετάσουμε πότε ένα υποσύνολο το $\Bbb{R}$ είναι ή όχι συμπαγές.

$\bullet$ Ένας μετρικός χώρος

λέγεται συμπαγής μετρικός χώρος αν κάθε ανοιχτή κάλυψη του έχει πεπερασμένη υποκάλυψη.
Ένα υποσύνολο του $\Bbb{R}$ είναι συμπαγές αν κάθε κάθε ανοιχτή κάλυψη του έχει πεπερασμένη υποκάλυψη.
$\bullet$ Ένας συμπαγής χώρος $(X,\rho)$ είναι φραγμένος.
$\bullet$ Έστω ο

συμπαγής, μη κενός μετρικός χώρος και $f:X\rightarrow R$ μια συνεχής συνάρτηση. Τότε η

είναι φραγμένη και λαμβάνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή.
$\bullet$ Ένας μετρικός χώρος

λέγεται ακολουθιακά συμπαγής αν κάθε ακολουθία του έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.
$\bullet$ Έστω

υπόχωρος του $\Bbb{R}^n$ τότε ο

είναι συμπαγής αν και μόνο αν ο

είναι κλειστός και φραγμένος στο $\Bbb{R}^n$ .

1o παράδειγμα

Ένα ανοικτό διάστημα D=(a,b)

δεν μπορεί να είναι συμπαγές υποσύνολο του $\Bbb{R}$ γιατί:

Υπάρχει ανοιχτό κάλυμμα , το $\left(a+\dfrac{1}{n},b-\dfrac{1}{n}\right)_{n\in\Bbb{N}}$ που δεν έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα.
ή
Υπάρχει ακολουθία $x_n\in(a,b)$ , η $x_n=a+\dfrac{1}{n}$ που δεν έχει συγκλινουσα υπακολουθία.
ή
Αν ήταν συμπαγές , θα ήταν κλειστό και φραγμένο , αλλά το D=(a,b)

δεν είναι κλειστό , αφού (π.χ.) $\overline{D}=[a,b]\neq D$ .
ή
Αν ήταν συμπαγές κάθε συνεχής συνάρτηση $f:D\to\Bbb{R}$ θα είχε μέγιστο και ελάχιστο , το οποίο δεν συμβαίνει π.χ. για την $f(x)=\dfrac{1}{x-a}$ .

2o παράδειγμα

Ένα διάστημα $D=[a,+\infty)$ δεν μπορεί να είναι συμπαγές υποσύνολο του $\Bbb{R}$ γιατί:

Υπάρχει ανοιχτό κάλυμμα , το $\left(a-1,n\right)_{n\in\Bbb{N}}$ που δεν έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα.
ή
Υπάρχει ακολουθία $x_n\in(a,b)$ , η x_n=n

που δεν έχει συγκλινουσα υπακολουθία.
ή
Αν ήταν συμπαγές , θα ήταν κλειστό και φραγμένο , αλλά το

δεν είναι δεν είναι φραγμένο.
ή
Αν ήταν συμπαγές κάθε συνεχής συνάρτηση $f:D\to\Bbb{R}$ θα είχε μέγιστο και ελάχιστο , το οποίο δεν συμβαίνει π.χ. για την f(x)=x

.

3o παράδειγμα

Ένα διάστημα D=[a,b]

είναι συμπαγές υποσύνολο του $\Bbb{R}$ ως κλειστό και φραγμένο.

Παρατηρήστε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση $f:D\to\Bbb{R}$ έχει μέγιστο και ελάχιστο στο

.

#6

To συμπαγές υποσύνολο τι ήρθε να συμπληρώσει στην τοπολογία ή στην πραγματική ανάλυση ; Πότε πρωτοεφανίστηκε αυτός ο όρος και από ποιον ή από ποιους ; Μπορούμε να έχουμε παραδείγματα με συμπαγή ή μη συμπαγή υποσύνολα του R^2

και πώς τα διακρίνουμε , αν υπάρχει τέτοια δυνατότητα ; Ο ορισμός βοηθάει πιο πολύ στο να βρούμε παραδείγματα μη συμπαγών υποσυνόλων. Υπάρχει άραγε κριτήριο ή μέθοδος να βρίσκουμε μεγάλες κατηγορίες συμπαγών συνόλων( όπως πχ τα κλειστά υποσύνολα του $\mathbb R$ );

slash · #7

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μπορούμε να έχουμε παραδείγματα με συμπαγή ή μη συμπαγή υποσύνολα του και πώς τα διακρίνουμε , αν υπάρχει τέτοια δυνατότητα ; Ο ορισμός βοηθάει πιο πολύ στο να βρούμε παραδείγματα μη συμπαγών υποσυνόλων. Υπάρχει άραγε κριτήριο ή μέθοδος να βρίσκουμε μεγάλες κατηγορίες συμπαγών συνόλων( όπως πχ τα κλειστά υποσύνολα του $\mathbb R$ );

Νομίζω μέρος της ερώτησης έχει ήδη απαντηθεί. Για το επίπεδο τα συμπαγή σύνολα είναι ακριβώς τα κλειστά και φραγμένα σύνολα. Τα υπόλοιπα είναι μη συμπαγή. Τώρα γενικά σε τοπολογικούς χώρους , πέραν του ορισμού, για να διαπιστώσει κανείς αν είναι ή όχι συμπαγές ένα σύνολο μπορεί να χρησιμοποιήσει έναν από τους πολλούς ισοδύναμους ορισμούς (θεωρήματα). Τα πιο πολλά έχουν ήδη αναφερθεί. Να προσθέσω ότι για να είναι συμπαγής αρκεί επίσης ( και πρέπει )

1)Κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε αυτόν να είναι φραγμένη.
2)Να είναι πλήρης και ολικά φραγμένος.

Antonis Loutraris · #8

Καλησπέρα και απο μένα.
Καταρχας να συγχαρώ το κ.Στεργίου
για τη πρωτοβουλία του αυτή, να γίνει συζήτηση
σε μια απο τις πιο δομικες και σημαντικες εννοιες αλλα
και ολους τους συναδέλφους που συμμετέχουν.

Σ αυτή την ωραία συζήτηση να προσθέσω ενα
απο τα σημαντικότερα αποτελέσματα, κατ εμέ, στη Γενική τοπολογία,
το θεώρημα Tychonoff:

Εστω $\displaystyle{X_{i}, i\in I}$ μια οικογένεια συμπαγών χώρων.
Τότε το γινόμενο $\displaystyle X=\Pi_{i\in I} X_{i}}$ είναι συμπαγής χώρος.

kostas_zervos · #9

Μερικά παραδείγματα από τον $\Bbb{R}^2:$

α)Το σύνολο $A=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/x^2+y^2\leq 1\}$ είναι κλειστό και φραγμένο , άρα συμπαγές.

β)Το σύνολο $B=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/1\leq x\leq 2 \wedge -1\leq y\leq 1\}$ είναι κλειστό και φραγμένο , άρα συμπαγές.

γ)Το σύνολο $C=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/x\geq 0\}$ δεν είναι φραγμένο , άρα δεν είναι συμπαγές.
Μπορούμε να βρούμε και μία ακολουθία σημείων του που να μην έχει συγκλίνουσα υπακολουθία : (x_n,y_n)=(n,n)

.
Μπορούμε να βρούμε ένα ανοικτό κάλυμμα που να μην έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα : $\left(\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/-1< x<n \}\right)_{n\in\Bbb{N}}$ .

δ)Το σύνολο $D=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/x+y=2\}$ δεν είναι φραγμένο , άρα δεν είναι συμπαγές.
Μπορούμε να βρούμε και μία ακολουθία σημείων του που να μην έχει συγκλίνουσα υπακολουθία : (x_n,y_n)=(n,2-n)

.
Μπορούμε να βρούμε ένα ανοικτό κάλυμμα που να μην έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα : $\left(\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/(x-n)^2+(y-2+n)^2<2\}\cup \{(x,y)\in\Bbb{R}^2/(x+n)^2+(y-2-n)^2<2\}\right)_{n\in\Bbb{N}}$ .

ε)Το σύνολο $E=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/x+y=2 \wedge 0\leq x\leq 1\}$ (ευθύγραμμο τμήμα) είναι φραγμένο και κλειστό , άρα είναι συμπαγές.

στ)Το σύνολο $Z=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/x^2+y^2<1\}$ δεν είναι κλειστό , άρα δεν είναι συμπαγές.
Μπορούμε να βρούμε και μία ακολουθία σημείων του που να μην έχει συγκλίνουσα υπακολουθία : $(x_n,y_n)=\left(1-\dfrac{1}{n},0\right)$ .
Μπορούμε να βρούμε ένα ανοικτό κάλυμμα που να μην έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα : $\left(\{(x,y)\in\Bbb{R}^2/x^2+y^2<1-\dfrac{1}{n+1}\}\right)_{n\in\Bbb{N}^*}$ .

kostas_zervos · #10

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:To συμπαγές υποσύνολο τι ήρθε να συμπληρώσει στην τοπολογία ή στην πραγματική ανάλυση ; Πότε πρωτοεφανίστηκε αυτός ο όρος και από ποιον ή από ποιους ;

Το παρακάτω είναι αντιγραφή από την wikipedia (από εδώ)

"Τον 19ο αιώνα, πολλές διαφορετικές μαθηματικές ιδιότητες ήταν κατανοητό ότι αργότερα θα έπρεπε να θεωρηθούν ως συνέπειες της συμπάγειας. Από τη μία πλευρά, Bernard Bolzano ( 1817) γνώριζε ότι κάθε φραγμένη ακολουθία σημείων (για παράδειγμα, στη γραμμή ή στο επίπεδο) έχει μια υπακολουθία που θα πρέπει τελικά να πάρει τιμές αυθαίρετα κοντά σε κάποιο άλλο σημείο, που ονομάζεται οριακό σημείο. Η απόδειξη του Bolzano στηρίχθηκε στην μέθοδο της διχοτόμησης: η ακολουθία τοποθετείται σε ένα διάστημα που στη συνέχεια χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη, και επιλέχθηκε ένα μέρος που περιέχει απείρους όρους της ακολουθίας. Η διαδικασία θα μπορούσε στη συνέχεια να επαναληφθεί με τη διαίρεση του προκύπτοντος μικρότερου κλειστού διάστηματος σε όλο και μικρότερα τμήματα μέχρι να σταματήσει στο επιθυμητό οριακό σημείο. Η πλήρης σημασία του θεωρήματος του Bolzano, και η μέθοδος της απόδειξης, δεν θα εμφανιστούν παρα μετά από 50 χρόνια, όπου και ανακαλύφθηκε από τον Karl Weierstrass.[1]

Στη δεκαετία του 1880, κατέστη σαφές ότι τα αποτελέσματα παρόμοια με το θεώρημα των Bolzano-Weierstrass μπορούν να διατυπωθούν για τούς χώρους των συναρτήσεων παρά μόνο για αριθμούς ή για γεωμετρικά σημεία. Η ιδέα σχετικά με τις συναρτήσεις , όπως οι η ίδια δείχνει ένα γενικευμένο χώρο χρονολογείται από τις έρευνες του Giulio Ascoli και του Cesare Arzelà [2] .Το αποκορύφωμα των ερευνών τους, το θεώρημα των Arzelà-Ascoli, ήταν μια γενίκευση του θεωρήματος των Bolzano-Weierstrass για τις οικογένειες των συνεχών συναρτήσεων , το ακριβές συμπέρασμα της ήταν ότι ήταν δυνατόν να εξαχθεί μια ομοιόμορφη συγκλίνουσα ακολουθία των συναρτήσεων από μια κατάλληλη οικογένεια συναρτήσεων. Το ομοιόμορφο όριο αυτής της ακολουθίας έπαιξε ακριβώς τον ίδιο ρόλο ως το "οριακό σημείο" του Bolzano. Προς την αρχή του εικοστού αιώνα, αποτελέσματα παρόμοια με εκείνα των Arzelà και Ascoli άρχισαν να συσσωρεύονται στην περιοχή των ολοκληρωτικών εξισώσεων, καθώς διερευνώνται από τον David Hilbert και τον Erhard Schmidt. Για μια ορισμένη κατηγορία των συναρτήσεων του Green που προέρχονται από τις λύσεις των ολοκληρωτικών εξισώσεων, ο Schmidt είχε δείξει ότι μια ιδιότητα ανάλογη του θεωρήματος Arzelà-Ascoli που πραγματοποιήθηκε κατά την έννοια της μέσης σύγκλισης- ή σύγκλισης ,αυτό που αργότερα θα ονομαστεί ένας Hilbert χώρος. Αυτό οδήγησε τελικά στην έννοια του συμπαγή τελεστή ως ένα παρακλάδι της γενικής έννοιας ενός συμπαγούς χώρου. Ήταν ο Maurice Fréchet ο οποίος, στο 1906, έχει αποστάξει την ουσία της ιδιότητας τουBolzano-Weierstrass και επινόησε τον όρο συμπάγεια για να αναφερθεί στο γενικό φαινόμενο.
Ωστόσο, μια διαφορετική έννοια της συμπάγειας είχε σιγά-σιγά αναδυχθεί στα τέλη του 19ου αιώνα από τη μελέτη του συνεχές, η οποία θεωρήθηκε ως θεμελιώδους σημασίας για την αυστηρή διατύπωση της ανάλυσης. Το 1870, ο Eduard Heine έδειξε ότι μια συνεχής συνάρτηση που ορίζεται σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι στην πραγματικότητα ομοιόμορφα συνεχής. Κατά τη διάρκεια της απόδειξης, έκανε χρήση ενός λήμματος που από οποιαδήποτε αριθμήσιμο κάλυμμα του διαστήματος από μικρότερα ανοιχτά διαστήματα, ήταν δυνατό να επιλέξει έναν πεπερασμένο αριθμό που επίσης το κάλυπτε. Η σημασία αυτού του λήμματος αναγνωρίστηκε από τον Émile Borel ( 1895), και ήταν γενικευμένη σε αυθαίρετες συλλογές διαστημάτων από τον Pierre Cousin (1895) και τον [[Henri Lebesgue] ] ( 1904). Το θεώρημα Heine-Borel, καθώς το αποτέλεσμα είναι πλέον γνωστό, είναι μια άλλη ειδική ιδιότητα που κατέχεται από κλειστά και φραγμένα σύνολα των πραγματικών αριθμών.
Αυτή η ιδιότητα ήταν σημαντική, διότι επέτρεψε το πέρασμα από την τοπική ιδιότητα για ένα σύνολο (όπως η συνέχεια της συνάρτησης) στην σφαιρική ιδιότητα σχετικά με το σύνολο (όπως η ομοιόμορφη συνέχεια μιας συνάρτησης). Αυτό το αίσθημα εκφράζεται από Lebesgue(1904), ο οποίος το εκμεταλεύτηκε για την ανάπτυξη του ολοκληρώματος Lebesgue. Τελικά, η ρωσική σχολή της γενικής τοπολογίας, υπό τη διεύθυνση του Pavel Alexandrov και του Pavel Urysohn, που διατυπώθηκε απο την συμπάγεια των Heine-Borel με έναν τρόπο που θα μπορούσε να εφαρμοστεί στη σύγχρονη έννοια ενός τοπολογικού χώρου.Ο Alexandrov Urysohn(1929) έδειξε ότι η προηγούμενη έκδοση της συμπάγειας λόγω του Fréchet, που σήμερα ονομάζεται (σχετική) ακολουθιακά συμπαγής, υπό κατάλληλες συνθήκες, ακολουθούμενη από την έκδοση της συμπάγειας που διαμορφώθηκε από την άποψη της ύπαρξης των πεπερασμένων υπο-καλυμμάτων. Ήταν αυτή η έννοια της συμπάγειας που έγινε κυρίαρχη, γιατί δεν ήταν μόνο μια ισχυρότερη ιδιότητα, αλλά θα μπορούσε να διαμορφωθεί σε ένα γενικότερο περιβάλλον με ελάχιστα πρόσθετα τεχνικά μηχανημάτα, καθώς στηρίχθηκε μόνο στην δομή των ανοικτών συνόλων σε ένα χώρο."

#11

Πάμε πολύ καλά ! Ας συνεχίσουμε την κουβέντα με σενάρια :

Έρχεται λοιπόν ο .... περιστασιακός φοιτητής, που βρέθηκε στο αμφιθέτατρο- στο μάθημα της πραγματικής ανάλυσης- επειδή του αρέσει κάποια συμφοιτήτρια ,

έχει χάσει όμως τα προηγούμενα μαθήματα και ρωτάει, έτσι για να τον προσέξει και η δεσποινίδα που κάθεται κάπου στην απέναντι σειρά

:

- Με τα πεπερασμένα υποσύνολα ενός μετρικού χώρου, πχ του $\mathbb R$ τι γίνεται ; Μπορεί να είναι συμπαγή ή αυτό δε γίνεται ;

- Μπορεί ένα υποσύνολο ενός χώρου

με μια μετρική να είναι συμπαγές και με μια άλλη μετρική να μην είναι ;

- Είχα ακούσει παλιότερα ότι το $\mathbb R$ , αν το εφοδιάσουμε με τα δύο άπειρα, το λέγανε '' συμπαγή ευθεία '' , δηλαδή συμπαγές σύνολο .Γιατί γινόταν αυτό ;

Το σύνολο αυτό δε είναι φραγμένο, ενώ εμείς έχουμε ακούσει ότι τα συμπαγή υποσύνολα είναι φραγμένα !

................................................................................................................................................

Λοιπόν, ωραίο να είσαι φοιτητής και ίσως στο ΕΑΠ πιο πολύ ! Ζηλεύω όλους σας , όσοι είστε στη μια ή στην άλλη περίπτωση .

Η ηλικία μου ( ...ούτε η γυναίκα μου δυστυχώς

!) δεν μου επιτρέπει να έχω τις απορίες ή ...την τύχη του φοιτητή, αλλά αν ήμουν νεότερος πολύ θα ήθελα

να παρακολουθήσω ένα καλό μάθημα πραγματικής ανάλυσης στη συμπάγεια , ειδικά αν είχα και σας συμφοιτητές !

kostas_zervos · #12

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: - Με τα πεπερασμένα υποσύνολα ενός μετρικού χώρου, πχ του $\mathbb R$ τι γίνεται ; Μπορεί να είναι συμπαγή ή αυτό δε γίνεται ;

Σύμφωνα με το ορισμός είναι προφανώς συμπαγή.
Από κάθε ανοιχτό κάλυμμα μπορούμε να βρούμε μια πεπερασμένο υποκάλλυμα , αφού αν $A\subseteq X$ , (όπου (X,d)

μετρικός χώρος) , τότε θα είναι $A=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ , αν $(B_i)_{i\in I}$ ανοιχτό κάλυμμα , τότε υπάρχουν το πολύ

ανοιχτά σύνολα από αυτά που αποτελούν πεπερασμένο υποκάλυμμα.

#13

kostas_zervos έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε: - Με τα πεπερασμένα υποσύνολα ενός μετρικού χώρου, πχ του $\mathbb R$ τι γίνεται ; Μπορεί να είναι συμπαγή ή αυτό δε γίνεται ;
Σύμφωνα με το ορισμός είναι προφανώς συμπαγή.
Από κάθε ανοιχτό κάλυμμα μπορούμε να βρούμε μια πεπερασμένο υποκάλλυμα , αφού αν $A\subseteq X$ , (όπου μετρικός χώρος) , τότε θα είναι $A=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ , αν $(B_i)_{i\in I}$ ανοιχτό κάλυμμα , τότε υπάρχουν το πολύ ανοιχτά σύνολα από αυτά που αποτελούν πεπερασμένο υποκάλυμμα.

Υπέροχα Κώστα !

Έκανα την υποθετική ερώτηση παίρνοντας την ιδέα από τον Rudin,που το λέει εξαρχής, μετά τον ορισμό, ότι τα πεπερασμένα υποσύνολα είναι συμπαγή.Έτσι, η συμπάγεια, δεν είναι αυτό που η διαίσθηση δίνει, ότι δηλαδή τα στοιχεία πρέπει αναγκαστικά να είναι πολύ κοντά το ένα στο άλλο ! Όταν ήμουν νεότερος νόμιζα ότι μόνο πολύ... ''συμπαγή ''σύνολα μπορεί να είναι συμπαγή, αλλά αυτό δε στέκει. Αλλού λοιπόν είναι το δυνατό σημείο του συμπαγούς υπο-συνόλου.

Ενδιαφέρον τώρα έχει το πρόβλημα 16 του Rudin.

Αν

είναι το σύνολο των ρητών αριθμών

με

, τότε το

είναι κλειστό και φραγμένο,

όχι όμως συμπαγές στο $\mathbb Q$ με τη συνήθη μετρική της απόλυτης τιμής.

Ρωτάει στη συνέχεια κάτι ακόμα , αλλά μοιάζει με τυπογραφικό (;).

kostas_zervos · #14

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Ενδιαφέρον τώρα έχει το πρόβλημα 16 του Rudin.[/color][/b]

Αν είναι το σύνολο των ρητών αριθμών με , τότε το είναι κλειστό και φραγμένο,

όχι όμως συμπαγές στο $\mathbb Q$ με τη συνήθη μετρική της απόλυτης τιμής.

Ρωτάει στη συνέχεια κάτι ακόμα , αλλά μοιάζει με τυπογραφικό (;).

Είναι $diam(E)<\sqrt{3}-\sqrt{2}$ , άρα είναι φραγμένο.

Επίσης περιέχει όλα τα σημεία συσσώρευσης , αφού κάθε τέτοιο σημείο αν υπάρχει θα είναι ρητός του διαστήματος $\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$ .

Δεν είναι συμπαγές γιατί η ακολουθία ρητών $x_n\in E$ με $\sqrt{2}<x_1<\sqrt{3}$ και $x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{2}{x_{n}}\right)$ δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία

(Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι $x_n\in\Bbb{Q}$ , x_n

γνησίως φθίνουσα , $x_n>\sqrt{2}$ , και έχει όριο το $\sqrt{2}$ στο $\Bbb{R}$ ).

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Ο $\Bbb{Q}$ δεν είναι πλήρης μετρικός χώρος και ένας συμπαγής μετρικός χώρος είναι υποχρεωτικά και πλήρης.

#15

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Πάμε πολύ καλά ! Ας συνεχίσουμε την κουβέντα με σενάρια :

- Μπορεί ένα υποσύνολο ενός χώρου με μια μετρική να είναι συμπαγές και με μια άλλη μετρική να μην είναι ;

Μπάμπη καλησπέρα.

Ναι μπορεί. Για παράδειγμα το $\displaystyle{[0,1]}$ είναι συμπαγές υποσύνολο του $\displaystyle{\Bbb{R}}$ ως προς την Ευκλείδεια μετρική, ενώ δεν είναι συμπαγές ως προς την

διακριτή μετρική, γιατί τα μόνα συμπαγή υποσύνολα του $\displaystyle{\Bbb{R}}$ ως προς την δεύτερη μετρική είναι τα πεπερασμένα, αφού στη διακριτή μετρική τα μονοσύνολα

είναι ανοικτά σύνολα, άρα το σύνολο που έχει ως στοιχεία τα μονοσύνολα του υποσυνόλου αποτελεί ένα ανοικτό κάλυμμά του.

ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ · #16

Καλησπέρα. Είδαμε παραπάνω ένα παράδειγμα κλειστού και φραγμένου συνόλου, που δεν είναι συμπαγές. Ας δούμε και ένα δεύτερο.

Έστω

ένα άπειρο σύνολο και $\delta$ η διακριτή μετρική. Το

είναι κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του $(X,\delta)$
( $diam(X,\delta)=1$ , ο

φραγμένος). Ο

όμως δεν είναι συμπαγής, γιατί η ανοικτή κάλυψη $\cup_{x\in X}\{ x\}$ δεν έχει
πεπερασμένη υποκάλυψη. Πράγματι, αν είχε θα υπήρχαν $x_1, x_2, \ldots, x_m\in X$ ώστε $X=\{x_1\}\cup \{x_2\}\cup \ldots \cup \{x_m\}$ ,
δηλαδή το

είναι πεπερασμένο, το οποίο είναι άτοπο αφού έχει υποτεθεί άπειρο.

Όπως ειπώθηκε και παραπάνω στον $\mathbb{R}^m$ ισχύει και το αντίστροφο. Πράγματι, έστω $K\subseteq (\mathbb{R}^m,||\cdot||_2)$ κλειστό και
φραγμένο και έστω $(x_n)\in K$ . Η (x_n)

είναι φραγμένη, αφού το

είναι φραγμένο, επομένως από το θεώρημα Bolzano-Weierstrass
υπάρχει υπακολουθία $(x_{\kappa_{n}})$ ώστε $x_{\kappa_{n}}\to x\in \mathbb{R}^m$ . Επειδή το

είναι κλειστό και $(x_{\kappa_{n}})\in K$ , έπεται ότι $x\in K$ . Άρα το

είναι ακολουθιακά συμπαγές, άρα συμπαγές.

Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Re: Συμπαγές σύνολο-Συμπαγής χώρος

Μέλη σε σύνδεση