ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν τα στοιχεία του συνόλου $\displaystyle{B=\{(x,y): [9i(7+24i)]^{\frac{1}{2}}=3x+3yi, x,y\in\mathbb{R}\}}$

2. Δίνονται οι ακολουθίες $\displaystyle{a_n}$ και $\displaystyle{b_{\nu}}$ όπου $\displaystyle{n=1,2,3,...}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\lim a_n =\alpha}$ και $\displaystyle{ \lim b_n=\beta}$ με $\displaystyle{\color{red}\alpha\ne \beta}}$ .
Αν είναι $\displaystyle{a_n \le b_n}$ να δειχθεί ότι και $\displaystyle{a<b}$ . ***

3. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες:
α) $\displaystyle{A\cap (B\cup \Gamma)=(A\cap B)\cup ({\color{red}A}\cap \Gamma)}$
β) $\displaystyle{A\cup (B\cap \Gamma)=(A\cup B)\cap ({\color{red}A}\cup \Gamma)}$

4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\log(2x-5)+\log (3x+7)=4\log 2}$

*** Κάτι δεν μου κάθεται καλά στο 2ο θέμα.
Τα κόκκινα γράμματα στην εκφώνηση είναι δική μου προσθήκη
Όπως την έδωσα παραπάνω είναι η εκφώνηση που υπάρχει στο Δελτίο του Πάλλα.
Αλλά η λύση είναι άσχετη, ώστε να εικάζω οτι η σωστή εκφώνηση είναι διαφορετική.
Δίνω σε απόκρυψη την λύση που έχει:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αν κάποιος έχει από διαφορετική πηγή το ετήσιο Δελτίο του Πάλλα ας κοιτάξει το 2ο θέμα ή όποιο θέμα έχει και του μοιάζει για να μας το μεταφέρει.

edit
Διόρθωση στην εκφώνηση του 3ου θέματος, ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη και τον Ευάγγελο Παπαπέτρο (BAGGP93) που μου το επισήμαναν

#2

parmenides51 έγραψε:
4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\log(2x-5)+\log (3x+7)=4\log 2}$

$\displaystyle{2x - 5 > 0,3x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}}$

$\displaystyle{\log (2x - 5) + \log (3x + 7) = \log 16 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\log (2x - 5)(3x + 7) = \log 16 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{6{x^2} - x - 51 = 0 \Leftrightarrow x = 3}$ ή $\displaystyle{x = - \frac{{17}}{6}}$ (απορρίπτεται).

Άρα $\displaystyle{x = 3}$

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν τα στοιχεία του συνόλου $\displaystyle{B=\{(x,y): [9i(7+24i)]^{\frac{1}{2}}=3x+3yi, x,y\in\mathbb{R}\}}$

$\displaystyle{{[9i(7 + 24i)]^{\frac{1}{2}}} = 3(x + yi) \Leftrightarrow 3{( - 24 + 7i)^{\frac{1}{2}}} = 3(x + yi) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left( {x + yi} \right)^2} = - 24 + 7i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - 24 + 7i \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^2} - {y^2} = - 24}$ και $\displaystyle{2xy = 7}$ , απ' όπου

$\displaystyle{{y^4} - 24{y^2} - \frac{{49}}{4} = 0 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{49}}{2},y \in R}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow y = \pm \frac{7}{{\sqrt 2 }}}$

Για $\displaystyle{y = \frac{7}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$ και για $\displaystyle{y = - \frac{7}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$ .

Άρα, $\displaystyle{B = \left\{ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{7}{{\sqrt 2 }}} \right),\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}, - \frac{7}{{\sqrt 2 }}} \right)} \right\}}$

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:

2. Δίνονται οι ακολουθίες $\displaystyle{a_n}$ και $\displaystyle{b_{\nu}}$ όπου $\displaystyle{n=1,2,3,...}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\lim a_n =\alpha}$ και $\displaystyle{ \lim b_n=\beta}$ με $\displaystyle{\color{red}\alpha\ne \beta}}$ .
Αν είναι $\displaystyle{a_n \le b_n}$ να δειχθεί ότι και $\displaystyle{a<b}$ . ***

3. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες:
α) $\displaystyle{A\cap (B\cup \Gamma)=(A\cap B)\cup (B\cap \Gamma)}$
β) $\displaystyle{A\cup (B\cap \Gamma)=(A\cup B)\cap (B\cup \Gamma)}$

ΛΥΣΗ 2

Έστω $\displaystyle{\left(c_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ μια πραγματική ακολουθία μη αρνητικών όρων με $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}c_{n}=c\in\mathbb{R}}$

Τότε, $\displaystyle{c\geq 0}$

Απόδειξη

Έστω ότι $\displaystyle{c<0}$ . Τότε, επειδή $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}c_{n}=c\in\mathbb{R}}$ , για το

$\displaystyle{\epsilon=-c>0}$ , υπάρχει $\displaystyle{m\in\mathbb{N}}$ τέτοιο, ώστε για κάθε $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$

με $\displaystyle{n\geq m}$ να ισχύει $\displaystyle{\left|c_{n}-c\right|<-c}$ , δηλαδή

για κάθε $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ με $\displaystyle{n\geq m}$ ισχύει

$\displaystyle{\left|c_{n}-c\right|<-c\Leftrightarrow c<c_{n}-c<-c\Leftrightarrow 2\,c<c_{n}<0}$ , άτοπο.

Ώστε, $\displaystyle{c\geq 0}$

Εφαρμόζουμε το παραπάνω για $\displaystyle{c_{n}=b_{n}-a_{n}\,,n\in\mathbb{N}\,,c=b-a}$ και έχουμε ότι

$\displaystyle{b-a\geq 0\stackrel{a\neq b}{\Rightarrow} b>a}$

ΛΥΣΗ 3

Αν $\displaystyle{\Omega}$ είναι το σύνολο αναφοράς, τότε για $\displaystyle{x\in \Omega}$ και

$\displaystyle{A\,,B\,,\Gamma\subseteq \Omega}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} x\in A\cap \left(B\cup\Gamma\right)&\Leftrightarrow x\in A\,\land\,x\in \left(B\cup\,\Gamma\right)\\&\Leftrightarrow x\in A\,\land \left(x\in B\,\lor x\in \Gamma\right)\\&\Leftrightarrow \left(x\in A\,\land x\in B\right)\,\lor\,\left(x\in A\,\land\,x\in \Gamma\right)\\&\Leftrightarrow x\in \left(A\cap B\right)\,\lor x\in \left(B\cap \Gamma\right)\\&\Leftrightarrow x\in \left(A\cap B\right)\cup \left(B\cap \Gamma\right)\end{aligned}}$

Επομένως, $\displaystyle{A\cap \left(B\cup \Gamma\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap \Gamma\right)}$

Επί πλέον,

$\displaystyle{\begin{aligned} x\in A\cup \left(B\cap\Gamma\right)&\Leftrightarrow x\in A\,\lor\,x\in \left(B\cap\,\Gamma\right)\\&\Leftrightarrow x\in A\,\lor \left(x\in B\,\land x\in \Gamma\right)\\&\Leftrightarrow \left(x\in A\,\lor x\in B\right)\,\land\,\left(x\in A\,\lor\,x\in \Gamma\right)\\&\Leftrightarrow x\in \left(A\cup B\right)\,\land x\in \left(B\cup \Gamma\right)\\&\Leftrightarrow x\in \left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup \Gamma\right)\end{aligned}}$

Συνεπώς, $\displaystyle{A\cup \left(B\cap \Gamma\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup \Gamma\right)}$

Χρησιμοποιηθήκαν οι ταυτολογίες

$\displaystyle{p\land \left(q\,\lor r\right)\Leftrightarrow \left(p\,\land q\right)\,\lor \left(p\,\land r\right)}$

και

$\displaystyle{p\lor \left(q\,\land r\right)\Leftrightarrow \left(p\,\lor q\right)\,\land \left(p\,\lor r\right)}$

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση