ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Δ. Κορωναίος

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x+yw=y+wx=w+xy \\ x^2+y^2+w^2=6 \end{cases}}$

2. Να δειχθεί (χωρίς χρήση παραγώγων) οτι αν η εξίσωση $\displaystyle{x^3-3x^2-3x+\lambda=0}$ έχει το $\displaystyle{\alpha}$ τουλάχιστον διπλή ρίζα,
τότε το $\displaystyle{\alpha}$ είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{x^2-2x-1=0}$ και το $\displaystyle{ \lambda}$ είναι μια από τις τιμές $\displaystyle{5\pm 4\sqrt{2}}$

3. Να δειχθεί η ανισότητα $\displaystyle{(2\mu+1)\lambda^{\mu}(1-\lambda){\color{red}<}1-\lambda^{2\mu+1}}$ όταν $\displaystyle{0<\lambda<1, \mu =}$ φυσικός

4. Να δειχθούν οι ανισότητες
α) $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}> \alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}$ και
β) $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}\gamma^{\gamma}>\alpha^{\beta}\beta^{\gamma}\gamma^{\alpha}}$ όταν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma>0}$

edit
αλλαγή φοράς στο 3ο θέμα, ευχαριστώ τον Δημήτρη Ιωάννου που το πρόσεξε

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να δειχθεί (χωρίς χρήση παραγώγων) οτι αν η εξίσωση $\displaystyle{x^3-3x^2-3x+\lambda=0}$ έχει το $\displaystyle{\alpha}$ τουλάχιστον διπλή ρίζα,
τότε το $\displaystyle{\alpha}$ είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{x^2-2x-1=0}$ και το $\displaystyle{ \lambda}$ είναι μια από τις τιμές $\displaystyle{5\pm 4\sqrt{2}}$

To πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=x^3-3x^2-3x+\lambda}$ έχει ρίζα το $\displaystyle{a}$ άρα θα ισχύει

$\displaystyle{P(a)=0\Rightarrow a^3-3a^2-3a+\lambda=0\Rightarrow \lambda=-a^3+3a^2+3a~(1) }$ . Επομένως, θα έχουμε

$\displaystyle{P(x)=x^3-3x^2-3x-a^3+3a^2+3a=(x^3-a^3)-3(x^2-a^2)-3(x-a)=}$

$\displaystyle{(x-a)(x^2+ax+a^2)-3(x+a)(x-a)-3(x-a)=(x-a)[x^2+(a-3)x+a^2-3a-3]}$

Επομένως, το πηλίκο της διαίρεσης είναι το $\displaystyle{Q(x)=x^2+(a-3)x+a^2-3a-3}$ . Αφού το $\displaystyle{a}$ είναι

τουλάχιστον διπλή ρίζα του αρχικού πολυωνύμου, θα είναι τουλάχιστον απλή ρίζα του πηλίκου. Δηλαδή

$\displaystyle{Q(a)=0\Rightarrow a^2+(a-3)a+a^2-3a-3=0\Rightarrow a^2+a^2-3a+a^2-3a-3=0\Rightarrow}$

$\displaystyle{3a^2-6a-3=0\Rightarrow a^2-2a-1=0}$ άρα το $\displaystyle{a}$ είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{x^2-2x-1=0}$ .

Οι λύσεις της τελευταίας είναι $\displaystyle{a=1\pm\sqrt{2}}$ και με αντικατάσταση καθεμιάς στην (1) έχουμε $\displaystyle{\lambda=5\pm 4\sqrt{2}}$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:
1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x+yw=y+wx=w+xy \\ x^2+y^2+w^2=6 \end{cases}}$

Είναι $\left\{ \begin{array}{l} x + yw = y + wx\quad \left( 1 \right)\\ y + wx = w + xy\quad \left( 2 \right)\\ {x^2} + {y^2} + {w^2} = 6\quad \left( 3 \right) \end{array} \right.$

Από την $\left( 1 \right)$ ισοδύναμα έχουμε: $x - wx = y - yw \Leftrightarrow x\left( {1 - w} \right) = y\left( {1 - w} \right) \Leftrightarrow$

$\left( {1 - w} \right)\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow w = 1\;\dot \eta \;x = y$

Ομοίως από την $\left( 2 \right)$ παίρνουμε $x = 1\;\dot \eta \;y = w$

Αν w = 1

και

η $\left( 3 \right) \Leftrightarrow {y^2} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 2$

Αν w = 1

και

η $\left( 3 \right) \Leftrightarrow {y^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Αν x = y

και

η $\left( 3 \right) \Leftrightarrow {w^2} = 4 \Leftrightarrow w = \pm 2$ και

Αν x = y

και

τότε

και η $\left( 3 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2$

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι οι τριάδες:

$\left( {x,y,w} \right) = \left( {1,2,1} \right),\;\left( {1, - 2,1} \right),\;\left( {2,1,1} \right),\;\left( { - 2,1,1} \right),$

$\left( {1,1,2} \right),\;\left( {1,1, - 2} \right),\;\left( {\sqrt 2 ,\sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right),\;\left( { - \sqrt 2 , - \sqrt 2 , - \sqrt 2 } \right)$ που ικανοποιούν τις εξισώσεις του συστήματος.

#4

parmenides51 έγραψε:3. Να δειχθεί η ανισότητα $\displaystyle{(2\mu+1)\lambda^{\mu}(1-\lambda){\color{red}<}1-\lambda^{2\mu+1}}$ όταν $\displaystyle{0<\lambda<1, \mu =}$ φυσικός

Αφού $\displaystyle{0<\lambda <1}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\lambda ^{2\mu -k}+\lambda ^{k} > 2\lambda ^{\mu}}$ , για κάθε $\displaystyle{k=0,1,2, ...,\mu -1}$ (Η ισότητα θα ίσχυε όταν $\displaystyle{\lambda =1}$ , που αποκλείεται από την υπόθεση)

(Πράγματι, αφού $\displaystyle{\lambda ^{2\mu -2k}+1 > 2\lambda ^{\mu -k} \Rightarrow \lambda ^{k}(\lambda ^{2\mu -2k}+1) > 2\lambda ^{\mu}\Rightarrow}$ $\displaystyle{\lambda ^{2\mu -k}+\lambda ^{k} > 2\lambda ^{\mu}}$ )

Eφαρμόζοντας την παραπάνω ανισότητα για $\displaystyle{k=0,1,2,...,\mu -1}$ παίρνουμε:

$\displaystyle{\lambda ^{2\mu}+1 > 2\lambda ^{\mu}}$

$\displaystyle{\lambda ^{2\mu -1}+\lambda > 2\lambda ^{\mu}}$

$\displaystyle{\lambda ^{2\mu -2}+\lambda ^{2} > 2\lambda ^{\mu}}$
...
...
..

$\displaystyle{\lambda ^{2\mu -\mu +1}+\lambda ^{\mu -1} > 2\lambda ^{\mu}}$

Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω ανισοτήτων, παίρνουμε:

$\displaystyle{\lambda ^{2\mu}+\lambda ^{2\mu -1}+\lambda ^{2\mu -2}+ ... +\lambda ^{\mu +1}+\lambda ^{\mu -1}+ ... +\lambda ^{2}+\lambda +1 > \mu.2\lambda ^{\mu}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\lambda ^{2\mu}+\lambda ^{2\mu -1}+\lambda ^{2\mu -2}+ ... +\lambda ^{\mu +1}+\lambda ^{\mu} +\lambda ^{\mu -1}+ ... +\lambda ^{2}+\lambda +1 > \mu.2\lambda ^{\mu}+\lambda ^{\mu}\Rightarrow}}$

$\displaystyle{(1-\lambda)(\lambda ^{2\mu}+\lambda ^{2\mu -1}+\lambda ^{2\mu -2}+ ... +\lambda ^{\mu +1}+\lambda ^{\mu} +\lambda ^{\mu -1}+ ... +\lambda ^{2}+\lambda +1) > (1-\lambda)(2\mu +1)\lambda ^{\mu}\Rightarrow}}$

$\displaystyle{1-\lambda ^{2\mu +1} >(1-\lambda )(2\mu +1)\lambda ^{\mu}}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

parmenides51 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 19, 2013 10:53 pm
Εξεταστής: Δ. Κορωναίος

4. Να δειχθούν οι ανισότητες
α) $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}> \alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}$ και
β) $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}\gamma^{\gamma}>\alpha^{\beta}\beta^{\gamma}\gamma^{\alpha}}$ όταν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma>0}$

Θα γράψω την λύση γιατί μετά από τόσα χρόνια δεν ασχολήθηκε κάποιος...
Ένας άλλος λόγος είναι για να αναδειχθεί το πόσο πρόχειρη ήταν πολλές φορές η διατύπωση των θεμάτων των εισαγωγικών εξετάσεων...
Ειδικά όταν ο θεματοδότης δεν ήταν μαθηματικός...

Το πρώτο σκέλος είναι η άσκηση 10 στην σελίδα 185 του τρέχοντος σχολικού βιβλίου Άλγεβρας Β' Λυκείου.
Φυσικά στην διατύπωση του σχολικού βιβλίου υπάρχει η συνθήκη $a\neq \beta$ , συνθήκη που ο Δ. Κορωναίος
παρέλειψε να δώσει τότε , το μακρινό 1963...
Ας δούμε την λύση του πρώτου σκέλους.
$\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}> \alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}\Leftrightarrow log({\alpha^{\alpha}\beta^{\beta})>log( \alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}) \Leftrightarrow log(\alpha^{\alpha})+log(\beta^{\beta})>log(\alpha^{\beta})+log(\beta^{\alpha}})\Leftrightarrow$

$\alpha log\alpha+\beta log\beta>\beta log\alpha+\alpha log\beta\Leftrightarrow\alpha log\alpha+\beta log\beta-\beta log\alpha-\alpha log\beta>0\Leftrightarrow$

$\left ( \alpha -\beta \right )\cdot \left ( log\alpha -log\beta \right )> 0$

Η τελευταία ανισότητα ισχύει , άρα ισχύει και η ισοδύναμη σε αυτήν αρχική ανισότητα.

Για το δεύτερο σκέλος , ο Δ. Κορωναίος έπρεπε να δώσει την συνθήκη : οι $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.

Η απόδειξη της δεύτερης ανισότητας που θα γραφεί παρακάτω γίνεται με την επιπλέον συνθήκη $\alpha > \beta > \gamma .$

Αποδείχθηκε προηγουμένως ότι $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}> \alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}$ .

Μπορώ λοιπόν να γράψω άφοβα ότι ισχύει $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta} \gamma^{\gamma}> \alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}\gamma^{\gamma}$ .

Αν αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\displaystyle\alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}\gamma^{\gamma}>\alpha^{\beta}\beta^{\gamma}\gamma^{\alpha}}}$ ολοκληρώνεται η απόδειξη.

Η ανισότητα αυτή είναι ισοδύναμη με την $\beta^{\alpha}}\gamma^{\gamma}>\beta^{\gamma}\gamma^{\alpha}} \Leftrightarrow log(\beta^{\alpha}}\gamma^{\gamma})>log(\beta^{\gamma}\gamma^{\alpha}})\Leftrightarrow$

$log(\beta^{\alpha}})+log(\gamma^{\gamma})>log(\beta^{\gamma})+log(\gamma^{\alpha}})\Leftrightarrow\alpha log\beta+\gamma log\gamma>\gamma log\beta+\alpha log\gamma\Leftrightarrow$

$\alpha log\beta+\gamma log\gamma-\gamma log\beta-\alpha log\gamma>0\Leftrightarrow(\alpha-\gamma)(log\beta-log\gamma)>0$

Η τελευταία ανισότητα ισχύει , άρα ισχύει και η ισοδύναμη σε αυτήν αρχική ανισότητα.

Κάτι που μπορεί κάποιος να ρωτήσει , είναι τι γίνεται αν η διάταξη των $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ είναι διαφορετική , για παράδειγμα $\alpha > \gamma > \beta$ .
Θα γράψω την λύση για αυτήν την περίπτωση. Θα το κάνω μόνο και μόνο γιατί μας παρακολουθούν μαθητές οι οποίοι δεν θα καταλάβουν αμέσως αν γράψω το τυπικό '' Ομοίως και οι άλλες περιπτώσεις '' .

Από το πρώτο σκέλος μπορώ να γράψω ότι $\alpha ^{\alpha }\gamma ^{\gamma }> \alpha ^{\gamma }\gamma ^{\alpha }$ κάτι που ισοδυναμεί με $\alpha ^{\alpha }\gamma ^{\gamma }\beta ^{\beta }> \alpha ^{\gamma }\gamma ^{\alpha }\beta ^{\beta }$ .

Αν αποδειχθεί ότι $\alpha ^{\gamma }\gamma ^{\alpha }\beta ^{\beta }> \alpha ^{\beta }\beta ^{\gamma }\gamma ^{\alpha }$ ολοκληρώνεται η απόδειξη.

Αν λογαριθμίσω και εφαρμόσω ιδιότητες των λογαρίθμων μπορώ να καταλήξω στην ισοδύναμη ανισότητα $\left ( \gamma -\beta \right )\left ( log\alpha -log\beta \right )> 0$ . Aυτή προφανώς ισχύει , άρα και η ισοδύναμη σε αυτήν αρχική ανισότητα.

Νομίζω ότι έγινα σαφής και μπορώ πλέον να γράψω ότι '' Ομοίως και οι άλλες περιπτώσεις '' .

Λίγες πληροφορίες για τον άνθρωπο που έβαλε την υπογραφή του στα θέματα.
Ο Δ. Κορωναίος ήταν καθηγητής του Ε.Μ.Π. στην έδρα Δομικής Μηχανικής , Οικοδομικών Κατασκευών και Σιδήρου. Είχε τελειώσει πολιτικός μηχανικός στο ίδρυμα που δίδασκε. Η πηγή των πληροφοριών μου δεν γράφει αν είχε διδακτορικό . Μου κάνει εντύπωση ότι οι θεματοδότες των μαθηματικών στις σκληρές εισαγωγικές εξετάσεις του Ε.Μ.Π. σε πολλές περιπτώσεις δεν είχαν σπουδάσει μαθηματικά , ήταν μηχανικοί που είχαν μια έδρα στο ίδρυμα. Πολλοί μου είχαν μιλήσει για το επίπεδο αυτών των θεμάτων , ουδείς μου είπε για αυτούς που τα έθεταν. Οι άνθρωποι αυτοί όμως διαμόρφωναν την κουλτούρα των μαθηματικών των εισαγωγικών εξετάσεων εκείνων των δεκαετιών...

KARKAR · #6

Έστω ότι : a>b>0

. Τότε : $a^a \cdot b^b>a^b\cdot b^a\Leftrightarrow \dfrac{a^a}{a^b}>\dfrac{b^a}{b^b}\Leftrightarrow$

$a^{a-b}>{b^{a-b}$ , το οποίο ισχύει , αφού : a>b

και

.

#7

parmenides51 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 19, 2013 10:53 pm
4. Να δειχθούν οι ανισότητες
α) $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}> \alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}$ και
β) $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}\gamma^{\gamma}>\alpha^{\beta}\beta^{\gamma}\gamma^{\alpha}}$ όταν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma>0}$

H γρήγορη απόδειξη του β), ισοδύναμα $a\ln a + b\ln b + c\ln c > b\ln a + c\ln b + a\ln c$ , είναι η άμεση εφαρμογή της ανισότητας αναδιάταξης (rearangement inequality, βλέπε εδώ). Χρειαζόμαστε την εν λόγω ανισότητα μόνο για την περίπτωση τριών γραμμάτων (για το α) είναι η περίπτωση για δύο γράμματα), η απόδειξη της οποίας είναι απλή. Υπάρχει στο λινκ που δίνω γενικότερα από

σε

γράμματα.

Έτσι, αφού τα a,b,c

έχουν την ίδια διάταξη με τα $\ln a, \ln b, \ln c$ , τελειώσαμε.

#8

parmenides51 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 19, 2013 10:53 pm
4. Να δειχθούν οι ανισότητες
α) $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}> \alpha^{\beta}\beta^{\alpha}}$ και
β) $\displaystyle{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}\gamma^{\gamma}>\alpha^{\beta}\beta^{\gamma}\gamma^{\alpha}}$ όταν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma>0}$

Επανέρχομαι με την μέθοδο που υποθέτω ότι είχε κατά νου ο εξεταστής.

Το α) είναι απλό και υπάρχει παραπάνω. Θα δούμε το β) με χρήση του α).

Έστω

ο μικρότερος από τα a,b,c

. Τότε

$a^ab^bc^c > a^a b^cc^b= a^a b^cc^ac^{b-a} > a^a b^cc^aa^{b-a}= a^b b^cc^a$ , όπως θέλαμε.

Όμοια τα υπόλοιπα, αλλά τα κάνω χάριν πληρότητας μια και μας παρακολουθούν μαθητές.

Έστω

ο μικρότερος από τα a,b,c

. Τότε

$a^ab^bc^c > a^c b^bc^a= a^ba^{c-b} b^bc^a > a^bb^{c-b} b^bc^a = a^b b^cc^a$ , όπως θέλαμε.

Τέλος, αν

ο μικρότερος από τα a,b,c

. Τότε

$a^ab^bc^c > a^b b^ac^c= a^b b^cb^{a-c}c^c> a^b b^cc^{a-c}c^c= a^b b^cc^a$ , όπως θέλαμε.

ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση