Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

ΗρακληςΕυαγγελινος · #1

Θεωρία Αριθμών

Δυο απλές και πολυ χρήσιμες ιδιότητες

H πρώτη ευρέθει σε ξενόγλωσση μόνο βιβλιογραφία η δε δεύτερη δεν ευρέθει πουθενά και πιθανόν να είναι πρωτότυπη

1η ιδιότητα
Πως βρίσκουμε το πλήθος των διαιρετών ενός σύνθετου αριθμού;

Απάντηση
Αφού τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων,
αυξάνουμε όλους τους εκθέτες των πρώτων παραγόντων κατά μία μονάδα.
Το γινόμενο αυτών των αθροισμάτων των εκθετών,
μας δίνει το πλήθος των διαιρετών του σύνθετου αριθμού.

Παραδείγματα
1) 7!=5040=2^4 * 3^2 * 5^1 * 7^1

Πλήθος διαιρετών $\Sigma=(4+1)(2+1)(1+1)(1+1)=60$
(γνωστοί απο τους Νόμους του Πλάτωνα)

2) 666=2^1 * 3^2 * 37^1

Πλήθος διαιρετών $\Sigma=(1+1)(2+1)(1+1)=12$
Διαιρέτες $\Delta ={1,2,3,6,9,18,37,74,111,222,333,666}$

3) 200=2^3 * 5^2

$\Sigma=(3+1)(2+1)=12$
$\Delta={1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200}$

2η ιδιότητα:
Πως θα βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού;

Απάντηση
Για να βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού α,
θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Ερατοσθένη παραλλαγμένο.
Θα βρούμε το [ $\sqrt{\alpha}$ ], στη συνέχεια τους
διαιρέτες πρώτους και σύνθετους μέχρι [ $\sqrt{\alpha}$ ].
Έτσι έχουμε τους μισούς διαιρέτες. Τα πηλίκα των διαιρέσεων
του αριθμού με τους ευρεθέντες διαιρέτες θα μας δώσουν τους άλλους μισούς διαιρέτες του αριθμού.

Παράδειγμα

Ζητώ τους ακέραιους και θετικούς αριθμούς που
επαληθεύουν την εξίσωση xy=6972

Λύση
Έχουμε $[\sqrt{6972}]=83$
Διαιρέτες του 6972

μέχρι το

είναι τα

στοιχεία του
$\Delta=\{1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,83\}$
Τα πηλίκα των διαιρέσεων του 6972

με τα στοιχεία του
συνόλου $\Delta$ είναι

το πλήθος,
τα $\Pi=\{6972,3486,2324,1743,1162,996,581,498,332,249,166,84\}$

Η ένωση $\Delta$ $\displaystyle{\cup}$ $\Pi$ μας δίνει τους 24 διαιρέτες του 6972=2^2 *3^1 * 7^1 * 83^1

Πλήθος διαιρετών N=(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24

#2

Η πρώτη ιδιότητα υπάρχει στην πρώτη σελίδα εδώ (και σίγουρα και σε πολλά άλλα ελληνικά και ξένα βιβλία).

Η δεύτερη ιδιότητα είναι ουσιαστικά η εφαρμογή 2 στην σελίδα 5 του πιο πάνω συνδέσμου.

#3

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε: H πρώτη ευρέθει σε ξενόγλωσση μόνο βιβλιογραφία η δε δεύτερη δεν ευρέθει πουθενά και πιθανόν να είναι πρωτότυπη

Για να μην αποκομίσει ο μαθητής εσφαλμένες εντυπώσεις θα έλεγα ότι, αντιθέτως, ιδιότητες αυτές είναι και απλούστατες και πασίγνωστες. Βρίσκονται άλλωστε σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Αριθμών.

ΗρακληςΕυαγγελινος · #4

Demetres έγραψε:Η πρώτη ιδιότητα υπάρχει στην πρώτη σελίδα εδώ (και σίγουρα και σε πολλά άλλα ελληνικά και ξένα βιβλία).

Η δεύτερη ιδιότητα είναι ουσιαστικά η εφαρμογή 2 στην σελίδα 5 του πιο πάνω συνδέσμου.

Ευχαριστώ το συντονιστή Demetres για την υπόδειξη ελληνόγλωσσης Θεωρίας Αριθμών (η όποια προφανώς δεν απευθύνεται σε μαθητές και καθηγητές Μέσης Εκπαίδευσης), στην όποια περιέχονται οι δυο ιδιότητες. Αν κάποιος γνωρίζει δημοσίευση για Μέση Εκπαίδευση παρακαλώ να με ενημερώσει. Ευχαριστώ

#5

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:Θεωρία Αριθμών

Δυο απλές και πολυ χρήσιμες ιδιότητες

H πρώτη ευρέθει σε ξενόγλωσση μόνο βιβλιογραφία η δε δεύτερη δεν ευρέθει πουθενά και πιθανόν να είναι πρωτότυπη

1η ιδιότητα
Πως βρίσκουμε το πλήθος των διαιρετών ενός σύνθετου αριθμού;

Απάντηση
Αφού τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων,
αυξάνουμε όλους τους εκθέτες των πρώτων παραγόντων κατά μία μονάδα.
Το γινόμενο αυτών των αθροισμάτων των εκθετών,
μας δίνει το πλήθος των διαιρετών του σύνθετου αριθμού.

Παραδείγματα
1)
Πλήθος διαιρετών $\Sigma=(4+1)(2+1)(1+1)(1+1)=60$
(γνωστοί απο τους Νόμους του Πλάτωνα)

2)

Πλήθος διαιρετών $\Sigma=(1+1)(2+1)(1+1)=12$
Διαιρέτες $\Delta ={1,2,3,6,9,18,37,74,111,222,333,666}$

3)
$\Sigma=(3+1)(2+1)=12$
$\Delta={1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200}$

2η ιδιότητα:
Πως θα βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού;

Απάντηση
Για να βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού α,
θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Ερατοσθένη παραλλαγμένο.
Θα βρούμε το [ $\sqrt{\alpha}$ ], στη συνέχεια τους
διαιρέτες πρώτους και σύνθετους μέχρι [ $\sqrt{\alpha}$ ].
Έτσι έχουμε τους μισούς διαιρέτες. Τα πηλίκα των διαιρέσεων
του αριθμού με τους ευρεθέντες διαιρέτες θα μας δώσουν τους άλλους μισούς διαιρέτες του αριθμού.

Παράδειγμα

Ζητώ τους ακέραιους και θετικούς αριθμούς που
επαληθεύουν την εξίσωση

Λύση
Έχουμε $[\sqrt{6972}]=83$
Διαιρέτες του μέχρι το είναι τα στοιχεία του
$\Delta=\{1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,83\}$
Τα πηλίκα των διαιρέσεων του με τα στοιχεία του
συνόλου $\Delta$ είναι το πλήθος,
τα $\Pi=\{6972,3486,2324,1743,1162,996,581,498,332,249,166,84\}$

Η ένωση $\Delta$ $\displaystyle{\cup}$ $\Pi$ μας δίνει τους 24 διαιρέτες του
Πλήθος διαιρετών

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:
Demetres έγραψε:Η πρώτη ιδιότητα υπάρχει στην πρώτη σελίδα εδώ (και σίγουρα και σε πολλά άλλα ελληνικά και ξένα βιβλία).

Η δεύτερη ιδιότητα είναι ουσιαστικά η εφαρμογή 2 στην σελίδα 5 του πιο πάνω συνδέσμου.
Ευχαριστώ το συντονιστή Demetres για την υπόδειξη ελληνόγλωσσης Θεωρίας Αριθμών (η όποια προφανώς δεν απευθύνεται σε μαθητές και καθηγητές Μέσης Εκπαίδευσης), στην όποια περιέχονται οι δυο ιδιότητες. Αν κάποιος γνωρίζει δημοσίευση για Μέση Εκπαίδευση παρακαλώ να με ενημερώσει. Ευχαριστώ

Ο πρόλογος του βιβλίου στο οποίο αναφέρθηκε ο Δημήτρης γράφει ότι το βιβλίο προορίζεται:
"...για την υποστήριξη του έργου των μαθηματικών, αλλά και την υποβοήθηση της μελέτης των μαθητών και σπουδαστών"

Στο βιβλίο του Σπύρου Κανέλλου Άλγεβρα δια τα Λύκεια τόμος δεύτερος, εκδ Παπαδημητρόπουλου, 1966 στη σελίδα 156 υπάρχει η εφαρμογή
"Ποίον το πλήθος και ποίον το άθροισμα όλων των (θετικών) διαιρετών του εις πρώτους παράγοντας αναλελυμένου αριθμού $N=p_{1}^{\alpha }p_{2}^{\beta }p_{3}^{\gamma }$ όπου $p_{1},p_{2},p_{3}$ και $\alpha ,\beta ,\gamma$ φυσικοί αριθμοί;"
Το ερώτημα απαντάται αναλυτικά και ακολουθεί η φυσιολογική γενίκευση για

πρώτους παράγοντες.

Στο βιβλίο του Καθηγητή Δημητρίου Ν. Πουλάκη Θεωρία Αριθμών. Εκδ. Ζήτη, 1997 στην σελίδα 45 υπάρχει η πρόταση
"Κάθε σύνθετος φυσικός αριθμός a>1

έχει ένα τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη

με $p\leq \sqrt{a}$ ."

Για την αντιγραφή: Μαυρογιάννης

apotin · #6

Θ. Ν. Καζαντζή
Θεωρία αριθμών
Εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη, Χ. Βαφειάδη
β΄έκδοση $\displaystyle{~1998}$
σελ. $\displaystyle{137}$ : αναφέρεται τόσο το πλήθος των διαιρετών όσο και το άθροισμά τους κλπ

Η πρώτη έκδοση έγινε το $\displaystyle{1980}$ για τις ανάγκες των μαθητών της Β΄Λυκείου,
τότε που η θεωρία αριθμών αποτελούσε ένα κεφάλαιο της "Ύλης Επιλογής"

Η δεύτερη έκδοση συνέπεσε με την ένταξη της θεωρίας αριθμών στη σχολική ύλη
Μαθηματικά κατ/νσης Β΄ Λυκείου τότε που το μάθημα εξεταζόταν πανελλαδικά

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

parmenides51 · #7

σχετικό και πρόσφατο

ΗρακληςΕυαγγελινος · #8

Στην δημοσίευση αυτή γράφω ότι η δεύτερη ιδιότητα "πιθανόν να είναι πρωτότυπη" και αυτό γιατί δεν συνάντησα αυτές τις προτάσεις σε κανένα σχολικό ή εξωσχολικό βιβλίο της Θ.Αριθμών ή Άλγεβρας κατά την υπερεξηκονταετή ενασχόληση μου με τα Μαθηματικά, ούτε κανένας των συναδέλφων μου με τους οποίους συζήτησα το θέμα, γνώριζε αυτές. Επειδή δέχτηκα κριτική γι αυτό, παρά το "πιθανόν" αποσύρω την πρόταση "πιθανόν να είναι πρωτότυπο". Επιμένω όμως ότι είναι δύο άγνωστες στους περισσότερου συναδέλφους προτάσεις, αλλά και πάρα πολύ χρήσιμες, ακόμη και στους δασκάλους Έ και ΣΤ' δημοτικού.

#9

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε: Επιμένω όμως ότι είναι δύο άγνωστες στους περισσότερου συναδέλφους προτάσεις, αλλά και πάρα πολύ χρήσιμες, ακόμη και στους δασκάλους Έ και ΣΤ' δημοτικού.

Δεν ξέρω γιατί επιμένεις. Όπως ανέφερα πριν

Mihalis_Lambrou έγραψε: αυτές είναι και απλούστατες και πασίγνωστες. Βρίσκονται άλλωστε σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Αριθμών.

Θα έλεγα μάλιστα, ότι δεν ξέρω κανένα βιβλίο Θεωρίας Αριθμών που δεν έχει τις ανωτέρω απλές, απλούστατες, ιδιότητες. Είναι στάνταρ ύλη σε όλα τα εισαγωγικά μαθήματα Θεωρίας Αριθμών και τα διδάσκονται όλοι οι φοιτητές σε Μαθηματικά Τμήματα, σε όλη την υφήλιο.

T-Rex · #10

Μία εξήγηση απλή από τον Κύριο Λεωνίδα που την τελευταία φορά που πέρασε από το σπίτι μας στην Ασπροβάλτα μας άφησε αρκετά από τα βοηθήματα που είχε
viewtopic.php?f=33&t=1623

Αρχιμήδης 6 · #11

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:,10,20,25,40,50,100,200}[/tex]

2η ιδιότητα:
Πως θα βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού;

Απάντηση
Για να βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού α,
θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Ερατοσθένη παραλλαγμένο.
Θα βρούμε το [ $\sqrt{\alpha}$ ], στη συνέχεια τους
διαιρέτες πρώτους και σύνθετους μέχρι [ $\sqrt{\alpha}$ ].
Έτσι έχουμε τους μισούς διαιρέτες. Τα πηλίκα των διαιρέσεων
του αριθμού με τους ευρεθέντες διαιρέτες θα μας δώσουν τους άλλους μισούς διαιρέτες του αριθμού.

Δεν έχουμε πάντα ακριβώς τους μισούς διαιρέτες...

Για παράδειγμα το

. Μέχρι και τον αριθμό

έχει τον

δηλαδή τους

εκ των τριών διαιρετών του

.

Πρέπει να γίνει κάποια διόρθωση σε αυτή την πρόταση και να επιλέξεις

1) "τουλάχιστον τους μισούς διαιρέτες" ,

2)''το πολύ τους μισούς διαιρέτες'' ,

3) ''ακριβώς τους μισούς διαιρέτες''.

Είναι σημαντικό για να μην γίνονται παρανοήσεις όπως αυτή.
----------------------
Επίσης λες ''μέχρι [ $\sqrt{\alpha}$ ]''

Το μέχρι τι θα πει? Θα πάρει την τιμή αυτή η όχι?

Και εδώ πρέπει να κάνεις μια διευκρίνηση.

ΗρακληςΕυαγγελινος · #12

nsmavrogiannis έγραψε:
ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:Θεωρία Αριθμών

Δυο απλές και πολυ χρήσιμες ιδιότητες

H πρώτη ευρέθει σε ξενόγλωσση μόνο βιβλιογραφία η δε δεύτερη δεν ευρέθει πουθενά και πιθανόν να είναι πρωτότυπη

1η ιδιότητα
Πως βρίσκουμε το πλήθος των διαιρετών ενός σύνθετου αριθμού;

Απάντηση
Αφού τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων,
αυξάνουμε όλους τους εκθέτες των πρώτων παραγόντων κατά μία μονάδα.
Το γινόμενο αυτών των αθροισμάτων των εκθετών,
μας δίνει το πλήθος των διαιρετών του σύνθετου αριθμού.

Παραδείγματα
1)
Πλήθος διαιρετών $\Sigma=(4+1)(2+1)(1+1)(1+1)=60$
(γνωστοί απο τους Νόμους του Πλάτωνα)

2)

Πλήθος διαιρετών $\Sigma=(1+1)(2+1)(1+1)=12$
Διαιρέτες $\Delta ={1,2,3,6,9,18,37,74,111,222,333,666}$

3)
$\Sigma=(3+1)(2+1)=12$
$\Delta={1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200}$

2η ιδιότητα:
Πως θα βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού;

Απάντηση
Για να βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού α,
θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Ερατοσθένη παραλλαγμένο.
Θα βρούμε το [ $\sqrt{\alpha}$ ], στη συνέχεια τους
διαιρέτες πρώτους και σύνθετους μέχρι [ $\sqrt{\alpha}$ ].
Έτσι έχουμε τους μισούς διαιρέτες. Τα πηλίκα των διαιρέσεων
του αριθμού με τους ευρεθέντες διαιρέτες θα μας δώσουν τους άλλους μισούς διαιρέτες του αριθμού.

Παράδειγμα

Ζητώ τους ακέραιους και θετικούς αριθμούς που
επαληθεύουν την εξίσωση

Λύση
Έχουμε $[\sqrt{6972}]=83$
Διαιρέτες του μέχρι το είναι τα στοιχεία του
$\Delta=\{1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,83\}$
Τα πηλίκα των διαιρέσεων του με τα στοιχεία του
συνόλου $\Delta$ είναι το πλήθος,
τα $\Pi=\{6972,3486,2324,1743,1162,996,581,498,332,249,166,84\}$

Η ένωση $\Delta$ $\displaystyle{\cup}$ $\Pi$ μας δίνει τους 24 διαιρέτες του
Πλήθος διαιρετών

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:
Demetres έγραψε:Η πρώτη ιδιότητα υπάρχει στην πρώτη σελίδα εδώ (και σίγουρα και σε πολλά άλλα ελληνικά και ξένα βιβλία).

Η δεύτερη ιδιότητα είναι ουσιαστικά η εφαρμογή 2 στην σελίδα 5 του πιο πάνω συνδέσμου.
Ευχαριστώ το συντονιστή Demetres για την υπόδειξη ελληνόγλωσσης Θεωρίας Αριθμών (η όποια προφανώς δεν απευθύνεται σε μαθητές και καθηγητές Μέσης Εκπαίδευσης), στην όποια περιέχονται οι δυο ιδιότητες. Αν κάποιος γνωρίζει δημοσίευση για Μέση Εκπαίδευση παρακαλώ να με ενημερώσει. Ευχαριστώ
Ο πρόλογος του βιβλίου στο οποίο αναφέρθηκε ο Δημήτρης γράφει ότι το βιβλίο προορίζεται:
"...για την υποστήριξη του έργου των μαθηματικών, αλλά και την υποβοήθηση της μελέτης των μαθητών και σπουδαστών"

Στο βιβλίο του Σπύρου Κανέλλου Άλγεβρα δια τα Λύκεια τόμος δεύτερος, εκδ Παπαδημητρόπουλου, 1966 στη σελίδα 156 υπάρχει η εφαρμογή
"Ποίον το πλήθος και ποίον το άθροισμα όλων των (θετικών) διαιρετών του εις πρώτους παράγοντας αναλελυμένου αριθμού $N=p_{1}^{\alpha }p_{2}^{\beta }p_{3}^{\gamma }$ όπου $p_{1},p_{2},p_{3}$ και $\alpha ,\beta ,\gamma$ φυσικοί αριθμοί;"
Το ερώτημα απαντάται αναλυτικά και ακολουθεί η φυσιολογική γενίκευση για πρώτους παράγοντες.

Στο βιβλίο του Καθηγητή Δημητρίου Ν. Πουλάκη Θεωρία Αριθμών. Εκδ. Ζήτη, 1997 στην σελίδα 45 υπάρχει η πρόταση
"Κάθε σύνθετος φυσικός αριθμός έχει ένα τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη με $p\leq \sqrt{a}$ ."

Για την αντιγραφή: Μαυρογιάννης

Προς κ. Μαυρογιαννη

Για την παραπομπή σας στο βιβλίο Θ.αριθμών Δ.Πουλάκη και στην πρόταση “κάθε σύνθετος φυσικός αριθμός α>1 έχει έναν τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη ρ με με ρ $\leq$ $\sqrt{a}$ ” έχω να παρατηρήσω τα εξής: είναι μια αληθής πρόταση, δε μας δείχνει όμως τη μεθοδολογία σύμφωνα με την οποία θα βρούμε τους διαιρέτες ενός αριθμού. Αυτό που δε μας δείχνει η παραπάνω πρόταση γίνεται με τη 2η πρότασή μου όπου η απαιτούμενη διαδικασία είναι απλούστερη και συντομότερη

ΗρακληςΕυαγγελινος · #13

Demetres έγραψε:Η πρώτη ιδιότητα υπάρχει στην πρώτη σελίδα εδώ (και σίγουρα και σε πολλά άλλα ελληνικά και ξένα βιβλία).

Η δεύτερη ιδιότητα είναι ουσιαστικά η εφαρμογή 2 στην σελίδα 5 του πιο πάνω συνδέσμου.

1.Για την παραπομπή σας στο βιβλίο Θ.Αριθμών των Βλάμου Π., Ράππου Ε.και Ψαρράκου Π.στην εφαρμογή 1.7 έχω να παρατηρήσω τα εξής:
Αναφέρει:" δ(4950)=36." Σύμφωνοι.
Συνεχίζει: "Εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι οι διαιρέτες του 4950 είναι 1,2,3,4,.......66,75,......4950"
Εδώ διαφωνώ ριζικά, γιατί δεν είναι καθόλου “εύκολο” να βρει κανείς τους 36 διαιρέτες του 4950.
Εγώ με τη δεύτερη πρότασή μου λέω ότι το ακέραιο μέρος της τετραγωνικής ρίζας του 4950 είναι 70.Θα βρω τους διαιρέτες του αριθμού μέχρι και το 70 (και όχι του 4950) που είναι 18 και τα πηλίκα της διαιρέσεως του 4950 με αυτούς και θα έχω τους άλλους 18 διαιρέτες.
2.Για τη δεύτερη εφαρμογή που αναφέρετε έχω να παρατηρήσω ότι είναι μια αληθής πρόταση, δε μας δείχνει όμως τη μεθοδολογία (τον Αλγόριθμο) σύμφωνα με την οποία θα μπορούσαμε να βρούμε τους διαιρέτες του 4950.
Αυτό σημαίνει εφαρμογή: να πάρει τον αριθμό 4950 και να μας δείξει πώς ακριβώς θα βρω τους 36 διαιρέτες του.Αυτό που δεν κάνει η εφαρμογή γίνεται με τη 2η πρότασή μου, όπου η απαιτούμενη διαδικασία είναι απλούστερη και συντομότερη

#14

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε: Αναφέρει:" δ(4950)=36." Σύμφωνοι.
Συνεχίζει: "Εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι οι διαιρέτες του 4950 είναι 1,2,3,4,.......66,75,......4950"
Εδώ διαφωνώ ριζικά, γιατί δεν είναι καθόλου “εύκολο” να βρει κανείς τους 36 διαιρέτες του 4950.

Να μην πνιγόμαστε σε μία κουταλιά νερό.

Αφού $4950= 2\cdot 3^2\cdot 5 ^2 \cdot 11$ , η εύρεση των διαιρετών όχι μόνο είναι εύκολη αλλά πρόκειται για τετριμμένο θέμα ρουτίνας.

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:
Εγώ με τη δεύτερη πρότασή μου λέω ότι το ακέραιο μέρος της τετραγωνικής ρίζας του 4950 είναι 70.Θα βρω τους διαιρέτες του 70 (και όχι του 4950)

Δεν είναι σωστό αυτό. Δεν μας ενδιαφέρουν οι διαιρέτες του

. Π.χ. ο διαιρέτης του

του

δεν είναι διαιρέτης του 4950

. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι οι διαιρέτες του 4950

μέχρι το πολύ τον

, ενώ τους μεγαλύτερους τους βρίσκουμε αυτόματα (αφού ζευγαρώνονται με τους αρχικούς, μικρούς).

Επαναλαμβάνω ότι τα παραπάνω είναι ΑΠΛΑ, ΑΠΛΟΥΣΤΑΤΑ θέματα. Δεν θα έκανα το σχόλιο αλλά μας διαβάζουν μαθητές και καλό είναι να μην βαπτίζουμε δύσκολα ΤΑ ΑΠΟΛΥΤΑ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΑ, για να μην τους αποστρέφουμε από τα Μαθηματικά. Φαντάσου τι θα νομίσουν όταν θα συναντήσουν ουσιαστικά πράγματα που θέλουν σκέψη. Τα παραπάνω είναι, λέμε τώρα, δύσκολα για μαθητές Δημοτικού, αλλά μέχρι εκεί. Έλεος.

ΗρακληςΕυαγγελινος · #15

Αρχιμήδης 6 έγραψε:
ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:,10,20,25,40,50,100,200}[/tex]

2η ιδιότητα:
Πως θα βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού;

Απάντηση
Για να βρούμε τους διαιρέτες ενός σύνθετου αριθμού α,
θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Ερατοσθένη παραλλαγμένο.
Θα βρούμε το [ $\sqrt{\alpha}$ ], στη συνέχεια τους
διαιρέτες πρώτους και σύνθετους μέχρι [ $\sqrt{\alpha}$ ].
Έτσι έχουμε τους μισούς διαιρέτες. Τα πηλίκα των διαιρέσεων
του αριθμού με τους ευρεθέντες διαιρέτες θα μας δώσουν τους άλλους μισούς διαιρέτες του αριθμού.

Δεν έχουμε πάντα ακριβώς τους μισούς διαιρέτες...

Για παράδειγμα το . Μέχρι και τον αριθμό έχει τον δηλαδή τους εκ των τριών διαιρετών του .

Πρέπει να γίνει κάποια διόρθωση σε αυτή την πρόταση και να επιλέξεις

1) "τουλάχιστον τους μισούς διαιρέτες" ,

2)''το πολύ τους μισούς διαιρέτες'' ,

3) ''ακριβώς τους μισούς διαιρέτες''.

Είναι σημαντικό για να μην γίνονται παρανοήσεις όπως αυτή.
----------------------
Επίσης λες ''μέχρι [ $\sqrt{\alpha}$ ]''

Το μέχρι τι θα πει? Θα πάρει την τιμή αυτή η όχι?

Και εδώ πρέπει να κάνεις μια διευκρίνηση.

Σας ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις σας. Επικοινωνώ με το Mathematica μέσω τρίτων, γι' αυτό τις είδα μόλις σήμερα. Έχω ετοιμάσει διευκρινήσεις- συμπληρωματικό υλικό, το οποίο όταν αναρτήσω θα δείτε ότι απαντά σε όλες σας τις παρατηρήσεις.

ΗρακληςΕυαγγελινος · #16

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε: Αναφέρει:" δ(4950)=36." Σύμφωνοι.
Συνεχίζει: "Εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι οι διαιρέτες του 4950 είναι 1,2,3,4,.......66,75,......4950"
Εδώ διαφωνώ ριζικά, γιατί δεν είναι καθόλου “εύκολο” να βρει κανείς τους 36 διαιρέτες του 4950.
Να μην πνιγόμαστε σε μία κουταλιά νερό.

Αφού $4950= 2\cdot 3^2\cdot 5 ^2 \cdot 11$ , η εύρεση των διαιρετών όχι μόνο είναι εύκολη αλλά πρόκειται για τετριμμένο θέμα ρουτίνας.

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:
Εγώ με τη δεύτερη πρότασή μου λέω ότι το ακέραιο μέρος της τετραγωνικής ρίζας του 4950 είναι 70.Θα βρω τους διαιρέτες του 70 (και όχι του 4950)
Δεν είναι σωστό αυτό. Δεν μας ενδιαφέρουν οι διαιρέτες του . Π.χ. ο διαιρέτης του του δεν είναι διαιρέτης του . Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι οι διαιρέτες του μέχρι το πολύ τον , ενώ τους μεγαλύτερους τους βρίσκουμε αυτόματα (αφού ζευγαρώνονται με τους αρχικούς, μικρούς).

Επαναλαμβάνω ότι τα παραπάνω είναι ΑΠΛΑ, ΑΠΛΟΥΣΤΑΤΑ θέματα. Δεν θα έκανα το σχόλιο αλλά μας διαβάζουν μαθητές και καλό είναι να μην βαπτίζουμε δύσκολα ΤΑ ΑΠΟΛΥΤΑ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΑ, για να μην τους αποστρέφουμε από τα Μαθηματικά. Φαντάσου τι θα νομίσουν όταν θα συναντήσουν ουσιαστικά πράγματα που θέλουν σκέψη. Τα παραπάνω είναι, λέμε τώρα, δύσκολα για μαθητές Δημοτικού, αλλά μέχρι εκεί. Έλεος.

Προφανώς πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. Η σωστή διατύπωση είναι: "Θα βρω τους διαιρέτες του αριθμού μέχρι το 70." Εξ' άλλου αυτό γράφω στην διατύπωση της πρότασης και σε όλα τα παραδείγματα.

Όσον αφορά τα υπόλοιπα οι απόψεις σας έχουν διατυπωθεί πολλές φορές.

ΗρακληςΕυαγγελινος · #17

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε:
Demetres έγραψε:Η πρώτη ιδιότητα υπάρχει στην πρώτη σελίδα εδώ (και σίγουρα και σε πολλά άλλα ελληνικά και ξένα βιβλία).

Η δεύτερη ιδιότητα είναι ουσιαστικά η εφαρμογή 2 στην σελίδα 5 του πιο πάνω συνδέσμου.

1.Για την παραπομπή σας στο βιβλίο Θ.Αριθμών των Βλάμου Π., Ράππου Ε.και Ψαρράκου Π.στην εφαρμογή 1.7 έχω να παρατηρήσω τα εξής:
Αναφέρει:" δ(4950)=36." Σύμφωνοι.
Συνεχίζει: "Εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι οι διαιρέτες του 4950 είναι 1,2,3,4,.......66,75,......4950"
Εδώ διαφωνώ ριζικά, γιατί δεν είναι καθόλου “εύκολο” να βρει κανείς τους 36 διαιρέτες του 4950.
Εγώ με τη δεύτερη πρότασή μου λέω ότι το ακέραιο μέρος της τετραγωνικής ρίζας του 4950 είναι 70.Θα βρω τους διαιρέτες του αριθμού μέχρι το 70 (και όχι του 4950) που είναι 18 και τα πηλίκα της διαιρέσεως του 4950 με αυτούς και θα έχω τους άλλους 18 διαιρέτες.
2.Για τη δεύτερη εφαρμογή που αναφέρετε έχω να παρατηρήσω ότι είναι μια αληθής πρόταση, δε μας δείχνει όμως τη μεθοδολογία (τον Αλγόριθμο) σύμφωνα με την οποία θα μπορούσαμε να βρούμε τους διαιρέτες του 4950.
Αυτό σημαίνει εφαρμογή: να πάρει τον αριθμό 4950 και να μας δείξει πώς ακριβώς θα βρω τους 36 διαιρέτες του.Αυτό που δεν κάνει η εφαρμογή γίνεται με τη 2η πρότασή μου, όπου η απαιτούμενη διαδικασία είναι απλούστερη και συντομότερη

ΗρακληςΕυαγγελινος · #18

Στη 2η ιδιότητα της ανάρτησης, βλέπουμε ότι οι διαιρέτες του $\alpha$ μέχρι και το $\big[\sqrt{\alpha}\big]$ εμφανίζονται ανά ζεύγη $\big(\delta_i, \pi_i\big), i=1, 2, ..., \nu$ με $\delta_i \le \pi_i,$ αν $\delta_i$ οι διαιρέτες και $\pi_i$ τα αντίστοιχα πηλίκα. Είναι δε $\delta_i \pi_i=\alpha$ με πλήθος διαιρετών $\nu$ και πλήθος πηλίκων $\nu$ .
Τι γίνεται όμως αν το πλήθος όλων των διαιρετών του $\alpha$ (διαιρετών και πηλίκων) είναι περιττός αριθμός

Στην περίπτωση αυτή ο μεγαλύτερος διαιρέτης $\delta_\nu=\pi_\nu$ , όπου $\pi_\nu$ το μικρότερο αντίστοιχο πηλίκο, δηλαδή ο αριθμός $\alpha$ είναι τέλειο τετράγωνο.
Παράδειγμα
Έστω ο αριθμός $\alpha=15876=2^2 3^4 7^2$
Πλήθος διαιρετών $\delta(\alpha)=(2+1)(4+1)(2+1)=3\cdot 5\cdot 3 =45, \delta(\alpha)$ περιττός αριθμός, άρα $\alpha$ τέλειο τετράγωνο, $\alpha=126^2$ .
Μπορούμε λοιπόν να διατυπώσουμε την 3η πρόταση
Αν το πλήθος των διαιρετών σύνθετου θετικού αριθμού $\alpha$ είναι περιττός αριθμός, τότε ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο και αντιστρόφως.
Απόδειξη του αντιστρόφου
Έστω ο ακέραιος θετικός αριθμός (τέλειο τετράγωνο) $\alpha=(\alpha^{\nu_1}_1 \alpha^{\nu_2}_2 ...\alpha^{\nu_\lambda}_\lambda)^2 =\alpha^{2\nu_1}_1 \alpha^{2\nu_2}_2 ...\alpha^{2\nu_\lambda}_\lambda, \\ \nu_1, \nu_2, ..., \nu_\lambda \in N.$
Το πλήθος των διαιρετών του $\alpha$ είναι $\delta(\alpha)=(2\nu_1+1)(2\nu_2+1)...(2\nu_\lambda+1)=2\rho+1$ , όπου $\rho \in N$ , δηλαδή $\delta(\alpha)$ περιττός αριθμός.
Γενίκευση της 2ης πρότασης
Αν $\Delta=(\delta_1, \delta_2, ...,\delta_\nu)$ η διατεταγμένη κατά γνησίως αύξουσα τάξη ν-άδα των διαιρετών του φυσικού αριθμού $\alpha$ και $\pi=(\pi_1, \pi_2, ..., \pi_\nu)$ η διατεταγμένη κατά γνησίως φθίνουσα τάξη ν-άδα των αντίστοιχων πηλίκων του αριθμού $\alpha$ με τους διαιρέτες, τότε $\delta_i \le \big[\sqrt{\alpha}\big], i=1, 2, ..., \nu, \\ \delta_1=1, \pi_1=\alpha, \delta_i \le \pi_i$ και $\delta_i \pi_i=\alpha$ . \\Στην περίπτωση δε που $\delta_\nu=\pi_\nu,$ ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.

#19

ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε: Τι γίνεται όμως αν το πλήθος όλων των διαιρετών του $\alpha$ (διαιρετών και πηλίκων) είναι περιττός αριθμός
Στην περίπτωση αυτή ο μεγαλύτερος διαιρέτης $\delta_\nu=\pi_\nu$ , όπου $\pi_\nu$ το μικρότερο αντίστοιχο πηλίκο, δηλαδή ο αριθμός $\alpha$ είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρόκειται για αρκετά γνωστή και απλούστατη ιδιότητα. Για παράδειγμα χρησιμοποιείται σε έναν γνωστότατο γρίφο

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και σε πολλά άλλα μέρη,

τον οποίο διδάσκω σε παιδιά Δημοτικού στα Θερινά Σχολεία που οργανώνω.

ΗρακληςΕυαγγελινος · #20

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΗρακληςΕυαγγελινος έγραψε: Τι γίνεται όμως αν το πλήθος όλων των διαιρετών του $\alpha$ (διαιρετών και πηλίκων) είναι περιττός αριθμός
Στην περίπτωση αυτή ο μεγαλύτερος διαιρέτης $\delta_\nu=\pi_\nu$ , όπου $\pi_\nu$ το μικρότερο αντίστοιχο πηλίκο, δηλαδή ο αριθμός $\alpha$ είναι τέλειο τετράγωνο.
Πρόκειται για αρκετά γνωστή και απλούστατη ιδιότητα. Για παράδειγμα χρησιμοποιείται σε έναν γνωστότατο γρίφο

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και

εδώ και σε πολλά άλλα μέρη,

τον οποίο διδάσκω σε παιδιά Δημοτικού στα Θερινά Σχολεία που οργανώνω.

Στην παρέμβασή σας, όπως και στις προηγούμενες, οι οποίες μάλιστα είναι διατυπωμένες σε ενικό αριθμό, απαντούν οι 1395 επισκέπτες της ανάρτησης μου.
Φαίνεται ότι αυτά, που κατά τη γνώμη σας γνωρίζουν μαθητές του Δημοτικού, Γυμνασίου και Λυκείου, παρουσιαζουν ενδιαφερον για 1395 υπολοιπα μελη του mathematica.gr, στα οποία και απευθύνονται

Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Re: Εύρεση διαίρετων σύνθετου θετικού αριθμού

Μέλη σε σύνδεση