όριο! (2)

bboybast · #1

Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο

και $\lim_{x\rightarrow \propto }(f(x)+f'(x))=0$ ,να βρεθεί το $\lim_{x\rightarrow \propto }f(x)$ .

#2

Το ζητούμενο όριο είναι ίσο με

.

Γενικότερα, αν $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right) = \ell \in \mathbb{R} \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\},}$ τότε ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \ell .}$

Αυτό προκύπτει άμεσα με εφαρμογή της ακόλουθης ισχυρής μορφής του κανόνα l' Hôpital:

Αν $\displaystyle{{x_0} \in \mathbb{R} \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\}},$ $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \psi \left( x \right) = + \infty }$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\varphi '\left( x \right)}}{{\psi '\left( x \right)}} = \ell \in \mathbb{R} \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\},}$ τότε ισχύει και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\varphi \left( x \right)}}{{\psi \left( x \right)}} = \ell }.$

Πράγματι, για $\displaystyle{{\varphi \left( x \right) = {e^x}f\left( x \right)}}$ και $\displaystyle{{\psi \left( x \right) = {e^x}},}$ είναι:

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{\left( {{e^x}f\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}\left( {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right)}}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right) = \ell .}$

#3

εδώ κσι
εκεί

όριο! (2)

όριο! (2)

Re: όριο! (2)

Re: όριο! (2)

Μέλη σε σύνδεση