Όριο(απροσδιοριστία)

asxetos · #1

Έστω $\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} }$ με $\displaystyle{ f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c},a\neq 0 }$ .

Να υπολογίσετε το ορίο $\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow + \infty} {f(x+2)-2f(x+1)+f(x)} }$ .

Edit: Διόρθωση τυπογραφικού.

dimitris.ligonis · #2

Η

ορίζεται στο $\mathbb{R}$ αν και μόνο αν: $\begin{Bmatrix} b^2-4ac<0 \\ a>0 \end{Bmatrix} (1)$

H f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με : $\displaystyle{f'(x)=\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}}$ και $\displaystyle{f''(x)=\frac{4ac-b^2}{4(ax^2+bx+c)\sqrt{ax^2+bx+c}} , x \in \mathbb{R}}$

Από το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [x,x+1] , [x+1,x+2]

παίρνουμε ότι :

$\displaystyle{\exists \xi_{x_1} \in (x,x+1) ,\xi_{x_2} \in (x+1,x+2) : \left\{\begin{matrix} f'(\xi_{x_1} )=f(x+1)-f(x)\\ f'(\xi_{x_2} )=f(x+2)-f(x+1) \end{matrix}\right.}$

Λόγω της (1) προκύπτει ότι η

είναι κυρτή σε όλο το $\mathbb{R}$ οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα.
Είναι τώρα: $\xi_{x_2}-\xi_{x_1}<2 \Rightarrow f'(\xi_{x_2})<f'(\xi_{x_1}+2)$ .
Άρα τελικά: $\boxed{f'(\xi_{x_1}+2)-f'(\xi_{x_1})>f'(\xi_{x_2})-f'(\xi_{x_1})>0}$

Από to θεώρημα μέσης τιμής για την

στο διάστημα $[\xi_{x_1},\xi_{x_1}+2]$ παίρνουμε ότι:
$\displaystyle{\exists \xi_{x} \in (\xi_{x_1},\xi_{x_1}+2) : 2f''(\xi_{x})=f'(\xi_{x_1}+2)-f'(\xi_{x_1})}$

Με διαδοχικές εφαρμογές του κριτηρίου παρεμβολής: $\displaystyle{x<\xi_{x_1}<x+1 \Rightarrow (\xi_{x_1}\rightarrow +\infty) \Rightarrow (\xi_{x} \rightarrow +\infty)}$

Όμως, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f''(x)=0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty}f''(\xi_{x})=0}$

Οπότε απο το κριτήριο παρεμβολής ,τελικά, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x+2)-2f(x+1)+f(x) = 0}$

#3

asxetos έγραψε:Έστω $\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} }$ με $\displaystyle{ f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c},a\neq 0 }$ .

Να υπολογίσετε το ορίο $\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow + \infty} {f(x+2)-2f(x+1)+f(x)} }$ .

Edit: Διόρθωση τυπογραφικού.

Η συνάρτηση

είναι ορισμένη όταν $\displaystyle{ax^2+bx+c \geq 0 (I)}$ .

To ζητούμενο όριο έχει νόημα όταν: $\displaystyle{\begin{cases} \Delta \leq 0, a > 0\\ \Delta > 0, a> 0 \end{cases} \Leftrightarrow a > 0}$ .

Για x>0

έχουμε ότι:
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x+2)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{a(x+2)^2+b(x+2)+c}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(x\sqrt{a+\frac{4a+b}{x}+\frac{4a+2b+c}{x^2}}\right )=+\infty}$ ,

άρα $\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow + \infty} {f(x+2)-2f(x+1)+f(x)} }=+\infty$ .

Ενδιαφέρον θα παρουσίαζε το εξής όριο: $\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow + \infty} \left[{f(x+2)-2f(x+1)+f(x)}\right] }$ .

Mια διαπραγμάτευση είναι η ακόλουθη...

Για x>0

έχουμε:

$\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow + \infty} \left[ {f(x+2)-2f(x+1)+f(x)} \right] =\lim _{x \rightarrow + \infty} \left(\frac{f^2(x+2)-f^2(x+1)}{f(x+2)+f(x+1)}+\frac{f^2(x)-f^2(x+1)}{f(x)+f(x+1)}\right) =}$

$\displaystyle{=\lim _{x \rightarrow + \infty} \left(\frac{2ax+3a+b}{f(x+2)+f(x+1)}+\frac{-2ax-2a-b}{f(x)+f(x+1)}\right) =}$

$\displaystyle{=\lim _{x \rightarrow + \infty} \left(\frac{x \left( 2a+\frac{3a+b}{x} \right) }{x \left(\sqrt{a+\frac{4a+b}{x}+\frac{4a+2b+c}{x^2}}+\sqrt{a+\frac{2a+b}{x}+\frac{a+b+c}{x^2}}\right )}+\frac{x \left(-2a+\frac{-2a-b}{x} \right)}{x \left( \sqrt{a+\frac{2a+b}{x}+\frac{a+b+c}{x^2}}\right +\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2} \right)} \right) =}$

$\displaystyle{=\frac{2a}{2\sqrt{a}}+\frac{-2a}{2\sqrt{a}}=0}$ .

Όριο(απροσδιοριστία)

Όριο(απροσδιοριστία)

Re: Όριο(απροσδιοριστία)

Re: Όριο(απροσδιοριστία)

Μέλη σε σύνδεση