Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

antifa13 · #1

<<Μια συνάρτηση είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε του συνόλου τιµών της η εξίσωση έχει µία το πολύ λύση ως προς .>>

(Περιμένω πρώτα να δω τι πιστεύετε και μετά θα πω κι εγώ τη γνώμη μου)

abgd · #2

antifa13 έγραψε:<<Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε y του συνόλου τιµών της η εξίσωση έχει µία το πολύ λύση ως προς x.>>

(Περιμένω πρώτα να δω τι πιστεύετε και μετά θα πω κι εγώ τη γνώμη μου)

Μία πρόταση η οποία δεν είναι σωστά διατυπωμένη δεν μπορεί να χαρακτηριστεί Αληθής ή Ψευδής.

Η σωστή διατύπωση της πρότασης είναι:
" Μια συνάρτηση

με πεδίο ορισμού ένα σύνολο

και σύνολο τιμών το σύνολο f(A)=B

είναι

, αν και µόνο αν, για κάθε $y \in B$ η εξίσωση f(x)=y

έχει μοναδική λύση ως προς

, η οποία βρίσκεται στο σύνολο

."
Αυτή η πρόταση είναι Αληθής.

Christos.N · #3

Έχουμε μια πρόταση ισοδυναμίας $\displaystyle{ p \Leftrightarrow q }$

όπου $\displaystyle{ p:\{ f\,\,{}^\backprime 1 - 1'\} }$

Εδώ θεωρούμε

$\displaystyle{ f:A \to B\,\,\,f\left( A \right) = B }$

Αν με $\displaystyle{ N(y) }$ συμβολίσουμε το πλήθος των λύσεων τότε:

$\displaystyle{ q:\{ \forall y \in B:f(x) = y \Leftrightarrow N\left( y \right) \leqslant 1\} }$

Το πρόβλημα το αντιμετωπίζω στην πρόταση $\displaystyle{q}$

Στο αντίστροφο της ισοδυναμίας $\displaystyle{N(y) \leqslant 1 \Rightarrow f(x) = y}$ ειδικά στην περίπτωση $\displaystyle{ N(y) = 0 }$ έρχεται σε αντίφαση γιατί $\displaystyle{ y \in B }$

Για αυτό χαρακτηρίζεται λάθος.

antifa13 · #4

abgd έγραψε:
antifa13 έγραψε:<<Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε y του συνόλου τιµών της η εξίσωση έχει µία το πολύ λύση ως προς x.>>

(Περιμένω πρώτα να δω τι πιστεύετε και μετά θα πω κι εγώ τη γνώμη μου)
Μία πρόταση η οποία δεν είναι σωστά διατυπωμένη δεν μπορεί να χαρακτηριστεί Αληθής ή Ψευδής.

Η σωστή διατύπωση της πρότασης είναι:
" Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο και σύνολο τιμών το σύνολο είναι , αν και µόνο αν, για κάθε $y \in B$ η εξίσωση έχει μοναδική λύση ως προς , η οποία βρίσκεται στο σύνολο ."
Αυτή η πρόταση είναι Αληθής.

συμφωνώ ότι είναι αρκετά ανακριβής έτσι όπως δίνεται, ίσως και γι'αυτό να με μπέρδεψε

antifa13 · #5

Christos.N έγραψε:Έχουμε μια πρόταση ισοδυναμίας $\displaystyle{ p \Leftrightarrow q }$

όπου $\displaystyle{ p:\{ f\,\,{}^\backprime 1 - 1'\} }$

Εδώ θεωρούμε

$\displaystyle{ f:A \to B\,\,\,f\left( A \right) = B }$

Αν με $\displaystyle{ N(y) }$ συμβολίσουμε το πλήθος των λύσεων τότε:

$\displaystyle{ q:\{ \forall y \in B:f(x) = y \Leftrightarrow N\left( y \right) \leqslant 1\} }$

Το πρόβλημα το αντιμετωπίζω στην πρόταση $\displaystyle{q}$

Στο αντίστροφο της ισοδυναμίας $\displaystyle{N(y) \leqslant 1 \Rightarrow f(x) = y}$ ειδικά στην περίπτωση $\displaystyle{ N(y) = 0 }$ έρχεται σε αντίφαση γιατί $\displaystyle{ y \in B }$

Για αυτό χαρακτηρίζεται λάθος.

Εν μέρει είναι σωστή η λογική σου αλλά θα διαφωνίσω.. Γιατί $y\in B=f(A) \Leftrightarrow \exists x\in A : f(x)=y$ άρα $N(y) \geq 1$
Οπότε τελικά: $\left( N(y) \leq 1 \wedge N(y) \geq 1 \right) \Rightarrow N(y)=1$

apotin · #6

Λόγω του φακέλλου στον οποίο βρίσκεται η ερώτηση, αντιγράφω από τη σελίδα $\displaystyle{152}$ του σχολικού βιβλίου κάτω στα σχόλια:

"Μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ , αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο $\displaystyle{y}$ του συνόλου τιμών της η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=y}$ έχει ακριβώς μια λύση ως προς $\displaystyle{x}$ "

antifa13 · #7

apotin έγραψε:Λόγω του φακέλλου στον οποίο βρίσκεται η ερώτηση, αντιγράφω από τη σελίδα $\displaystyle{152}$ του σχολικού βιβλίου κάτω στα σχόλια:

"Μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ , αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο $\displaystyle{y}$ του συνόλου τιμών της η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=y}$ έχει ακριβώς μια λύση ως προς $\displaystyle{x}$ "

ναι ισχύει αυτό αλλά δες σελίδα 133 του σχολικού βιβλίου:
<<Είναι δηλαδή $f(A)=\{ y|y=f(x) \: gia \: kapoio\: x\in A \}$ >>

apotin · #8

antifa13 έγραψε:
apotin έγραψε:Λόγω του φακέλλου στον οποίο βρίσκεται η ερώτηση, αντιγράφω από τη σελίδα $\displaystyle{152}$ του σχολικού βιβλίου κάτω στα σχόλια:

"Μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ , αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο $\displaystyle{y}$ του συνόλου τιμών της η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=y}$ έχει ακριβώς μια λύση ως προς $\displaystyle{x}$ "
ναι ισχύει αυτό αλλά δες σελίδα 133 του σχολικού βιβλίου:
<<Είναι δηλαδή $f(A)=\{ y|y=f(x) \: gia \: kapoio\: x\in A \}$ >>

Δεν έχουν σχέση

#9

antifa13 έγραψε:<<Μια συνάρτηση είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε του συνόλου τιµών της η εξίσωση έχει µία το πολύ λύση ως προς .>>

(Περιμένω πρώτα να δω τι πιστεύετε και μετά θα πω κι εγώ τη γνώμη μου)

Ως μαθηματική πρόταση (ισοδυναμία)είναι σωστή, αλλά πρόκειται για μια άσχημη πρόταση με χείριστη διατύπωση που δεν βοηθάει ποτέ, κανέναν και σε τίποτα.

Η αιτία βρίσκεται στην έννοια '' το πολύ '', που περικλείει και την έννοια '' μία ακριβώς''(όσον αφορά την αλήθεια των υποθέσεων της ισοδυναμίας, με αναφορά το σύνολο τιμών, όταν η μία πρόταση είναι αληθής, είναι και η άλλη). Από την άλλη, στο αντίστροφο, η περίπτωση '' καμία ρίζα'' είναι αδύνατη και έτσι η '' ακριβώς μία'' οδηγεί στο ''1-1''.

Στο θέμα λοιπόν που συζητάμε θα αρκούσε μία από τις διατυπώσεις :

- <<Μια συνάρτηση

είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε

του συνόλου τιµών της η εξίσωση f(x)=y

έχει µία ακριβώς λύση λύση ως προς

.>>

- <<Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε $y\in\mathbb R$ η εξίσωση f(x)=y

έχει µία το πολύ λύση ως προς x.>>

Κάθε άλλη διατύπωση στερείται νοήματος και ενδιαφέροντος !

Γενικά προτείνω σε όλους μας να προσγειωθούμε και να βλέπουμε τα μαθηματικά, ειδικά τα σχολικά, ως μια ευκαιρία να κάνουμε ωραίους και στρωτούς συλλογισμούς, ώστε να απολαμβάνουμε το εξαίσιο αυτό πεδίο της επιστήμης και της ανθρώπινης διανόησης.
Είναι κρίμα να μετατρέπουμε ένα έργο τέχνης, τα μαθηματικά, σε μια καρικατούρα με δυσνόητα ή άσχετα πράγματα, πόσο μάλλον όταν αυτά προορίζονται στο να δείξουν στις νέες γενιές τον υγιή και λογικό τρόπο σκέψης.

(Δυστυχώς και ο γράφων εμπίπτει ορισμένες φορές σε παρόμοια παραπτώματα και ζητά προκαταβολικά συγνώμην

Αλλά με όλα αυτά που γίνονται γύρω μας και τον χλευασμό που καλούμαστε να τον υποδεχτούμε ως δώρο, δεν ξέρουμε πια τι είναι άσπρο και τη μαύρο. Η σύγχιση και η απορία μάς ακολουθεί σε κάθε μας πράξη ή σκέψη. )

Μπάμπης

antifa13 · #10

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
antifa13 έγραψε:<<Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε y του συνόλου τιµών της η εξίσωση έχει µία το πολύ λύση ως προς x.>>

(Περιμένω πρώτα να δω τι πιστεύετε και μετά θα πω κι εγώ τη γνώμη μου)
Ως μαθηματική πρόταση (ισοδυναμία)είναι σωστή, αλλά πρόκειται για μια άσχημη πρόταση με χείριστη διατύπωση που δεν βοηθάει ποτέ, κανέναν και σε τίποτα.

Η αιτία βρίσκεται στην έννοια '' το πολύ '', που περικλείει και την έννοια '' μία ακριβώς''. Από την άλλη, στο αντίστροφο, η περίπτωση '' καμία ρίζα'' είναι αδύνατη και έτσι η '' ακριβώς μία'' οδηγεί στο ''1-1''.

Στο θέμα λοιπόν που συζητάμε θα αρκούσε μία από τις διατυπώσεις :

- <<Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε y του συνόλου τιµών της η εξίσωση έχει µία ακριβώς λύση λύση ως προς x.>>

- <<Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και µόνο αν για κάθε $y\in\mathbb R$ η εξίσωση έχει µία το πολύ λύση ως προς x.>>

Κάθε άλλη διατύπωση στερείται νοήματος και ενδιαφέροντος !

Γενικά προτείνω σε όλους μας να προσγειωθούμε και να βλέπουμε τα μαθηματικά, ειδικά τα σχολικά, ως μια ευκαιρία να κάνουμε ωραίους και στρωτούς συλλογισμούς, ώστε να απολαμβάνουμε το εξαίσιο αυτό πεδίο της επιστήμης και της ανθρώπινης διανόησης.
Είναι κρίμα να μετατρέπουμε ένα έργο τέχνης, τα μαθηματικά, σε μια καρικατούρα με δυσνόητα ή άσχετα πράγματα, πόσο μάλλον όταν αυτά προορίζονται στο να δείξουν στις νέες γενιές τον υγιή και λογικό τρόπο σκέψης.

(Δυστυχώς και ο γράφων εμπίπτει ορισμένες φορές σε παρόμοια παραπτώματα και ζητά προκαταβολικά συγνώμην )

Μπάμπης

Συμφωνώ απόλυτα με αυτό που λες.. απλά η συγκεκριμένη ερώτηση έπεσε σε ένα διαγώνισμα φροντιστηρίου και απάντησα πως είναι σωστή αλλά όλοι μου έλεγαν πως είναι λάθος και γι'αυτό είπα να βρω μία ακόμη άποψη!

#11

Η ερώτηση είναι σωστή όπως τίθεται! Δεν είναι δυνατόν κάποιο

να ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης

(και όχι στο σύνολο αναφοράς) και η εξίσωση f(x)=y

να μην έχει (τουλάχιστον μία) λύση. Άρα στην πραγματικότητα οι προτάσεις

: "για κάθε

του συνόλου τιµών της, η εξίσωση f(x)=y

έχει μία το πολύ λύση ως προς

" και

: "για κάθε

του συνόλου τιµών της, η εξίσωση f(x)=y

έχει ακριβώς μία λύση ως προς

"

είναι ισοδύναμες. Έτσι έχουμε το ζητούμενο αφού πλέον η πρόταση λέει το εξής:

Μια συνάρτηση

είναι

αν και µόνο αν για κάθε

του συνόλου τιµών της, η εξίσωση f(x)=y

έχει ακριβώς μία λύση ως προς

.

που είναι ο ορισμός του σχολικού βιβλίου.

Θα συμφωνήσω όμως με τα λεγόμενα του Μπάμπη παραπάνω ότι τέτοιου είδους ερωτήσεις είναι έξω από το πνεύμα των εξετάσεων αλλά το κυριότερο κάνουν τα μαθηματικά να φαίνονται δύσκολα και δυσνόητα.

Αλέξανδρος

ZF1986 · #12

Κατά την ταπεινή μου γνώμη η πρόταση είναι λάθος.

το πολύ μία λύση ---> μία λύση ή καμία λύση (δηλ. μέχρι μία λύση)

ακριβώς μία ---> μία μόνο λύση

τουλάχιστον μία ---> από μία και περισσότερες λύσεις

Εφόσον στο πολύ μία εμπεριέχεται να μην έχει λύση άρα η πρόταση είναι λάθος, επειδή όπως αναφέρθηκε και παραπάνω δε γίνεται να έχουμε κάποιο y στο πεδίο τιμών και να μην υπάρχει το αντίστοιχο x στο πεδίο ορισμού.

#13

Είναι λογικό να δυσκολευτεί κάποιος, αν δεν είναι εξοικειωμένος αρκετά με τη μαθηματική λογική.

Η δεύτερη πρόταση στην ισοδυναμία , δηλαδή η πρόταση :

'' ... για κάθε

του συνόλου τιµών της η εξίσωση f(x)=y

έχει µία το πολύ λύση ως προς

. ''

έχει άρνηση την :

'' Υπάρχει

του συνόλου τιµών της για το οποίο η εξίσωση f(x)=y

έχει δύο τουλάχιστον λύσεις ''.

Αυτή όμως είναι πάντα λάθος, αφού εμείς έχουμε ότι '' η εξίσωση f(x)=y

έχει µία το πολύ λύση ως προς

''.

Θα ήθελα να το πω και με άλλον τρόπο ή πιο αναλυτικά, αλλά πρέπει να φύγω. Αυτό που πρέπει να τονίσουμε είναι ότι στο σύνολο τιμών, η περίπτωση ''μηδέν ρίζες'' είναι αδύνατη, οπότε η δεύτερη πρόταση είναι στην ουσία η πρόταση :'' η εξίσωση ...ακριβώς μία ρίζα '' και όλα τελειώνουν εκεί.

Μπ.

kochris · #14

Σαφώς και είναι σωστή η πρόταση αλλά στερείται νοήματος. Προσυπογράφω απολύτως το σχόλιο του κου Στεργίου. Ίσως στο κακογραμμένο αυτό Σ-Λ ο γράφων ήθελε να γράψει $\forall y \in \mathbb R$

Ένα άλλο κακογραμμένο Σ-Λ θα ήταν :
H εξίσωση $ax^{2} + bx +c = 0$ με $\Delta >0$ έχει τουλάχιστον

άνισες πραγματικές ρίζες.

ZF1986 · #15

Πιστεύω ότι και η πρόταση: "Ηδευτεροβάθμια εξίσωση με $\Delta >0$ έχει τουλάχιστον 2 άνισες πραγματικές ρίζες" είναι Λάθος και όχι κακογραμμένη.

Εφόσον λέει τουλάχιστον 2...κ.τ.λ. άρα μπορεί να έχει και 3 και 4,...κ.τ.λ. ρίζες πραγματικές και άνισες, το οποίο είναι λάθος αν πάρουμε κατά γράμμα την πρόταση. Λογικά, όμως, εσείς θεωρείται ότι εφόσον λέει τουλάχιστον 2 ανίσες πραγματικές άρα παίρνει και την περίπτωση που θέλουμε και άρα είναι σωστή αλλά κακογραμμένη. Όμως, δεν μπορούμε να παραβλέψουμε το "τουλάχιστον".
Βέβαια, μπορεί εγώ να μην το αντιλαμβάνομαι απολύτως σωστά οπότε μπορεί να κάνω λάθος. Απλά παρέθεσα τη σκέψη μου.

#16

Ας πουμε δυο απλά λόγια για τους νεότερους φίλους μας :

Στη Μαθηματική Λογική οι προτάσεις και ο τρόπος που τις χαρακτηρίζουμε αληθείς ή ψευδείς είναι μερικές φορές τελείως διαφορετικός, από αυτόν που έχουμε συνηθίσει στον καθημερινό μας λόγο.

Στην καθημερινή μας πχ ζωή είναι παράλογο να πει κάποιος ότι : $5\geq 5$ ή ακόμα ότι $3\leq 5$ ,αλλά από μαθηματική άποψη αυτές οι προτάσεις είναι τελείως σωστές !

Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και με την πρόταση που έγραψε στο παραπάνω μήνυμα το μέλος μας :

"Η δευτεροβάθμια εξίσωση με $\Delta >0$ έχει τουλάχιστον 2 άνισες πραγματικές ρίζες".

Η πρόταση αυτή είναι σωστή, αφού πρόκειται για διάζευξη και όπως όλοι γνωρίζουν η διάζευξη $p \vee q$ είναι αληθής , αν μία τουλάχιστον

από τις προτάσεις p,q

είναι αληθής. Ευχαριστώ όλους , όσοι συμμετείχαν στον ωραίο και χρήσιμο διάλογο !

Με εκτίμηση

Μπ.

Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Re: Ένα "Σωστό-Λάθος" για το οποίο θέλω γνώμες

Μέλη σε σύνδεση