Σταθερή συνάρτηση - Ερώτηση.

abgd · #1

Ο ορισμός της σταθερής συνάρτησης δεν αναφέρεται στα σχολικά βιβλία των μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου. Είναι μια απλή συνάρτηση και λογικό είναι να μην απαιτείται να δώσουμε έναν ξεχωριστό ορισμό, ο οποίος μάλλον θα μας περιόριζε στις "κινήσεις" μας παρά θα μας διευκόλυνε.
Είναι προφανές ότι μια συνάρτηση

είναι σταθερή σ' ένα διάστημα $\Delta$ αν και μόνο αν $\forall x_1, x_2 \in \Delta$ με x_1<x_2

ισχύει

.

Στην απόδειξη του θεωρήματος: "Έστω συνάρτηση

ορισμένη σ' ένα διάστημα $\Delta$ . Αν η

είναι συνεχής στο $\Delta$ και $f^{\prime}(x)=0$ για κάθε εσωτερικό σημείο

του $\Delta$ τότε η

είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα $\Delta$ ."
κάποιος μαθητής γράφει:
"Έστω $x_1, x_2 \in \Delta$ με x_1<x_2

. Η

ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο [x_1,x_2]

. Επομένως υπάρχει $\xi \in \(x_1,x_2)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}$ . Επειδή όμως το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος $\Delta$ θα είναι $f^{\prime}(\xi)=0$ οπότε f(x_1)=f(x_2)

. Άρα η συνάρτηση είναι σταθερή."

Είναι το θεώρημα στη σελίδα 251 του σχολικού βιβλίου της κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου το οποίο έχει την απόδειξη λίγο διαφορετικά, αφού διακρίνει περιπτώσεις για την διάταξη των x_1, x_2

.

Από τα 8 μόρια που βαθμολογείται η σωστή απάντηση στο ερώτημα πόσο πρέπει να βαθμολογηθεί η απόδειξη του μαθητή;

#2

Εγώ προσωπικά θα έδινα και τα

μόρια επειδή φαίνεται ότι ο μαθητής είναι διαβασμένος και ξέρει τι γράφει.
● Η περίπτωση x_1>x_2

δεν έχει νόημα να αναφερθεί αφού είναι ισοδύναμη με την x_1<x_2

.

● Τέλος, για την περίπτωση x_1=x_2

, ισχύει

είτε η συνάρτηση είναι σταθερή είτε όχι.

Δεν νομίζω ότι υπάρχει βαθμολογητής που θα έκοβε πάνω από

μόριο.

Γιώργος Απόκης · #3

Συμφωνώ με το Γιώργο ότι η περίπτωση $\displaystyle{x_1<x_2}$ καλύπτει και την περίπτωση $\displaystyle{x_2<x_1}$ . Ίσως να χαθεί ένα μόριο

για το ότι δεν πήρε την περίπτωση $\displaystyle{x_1=x_2}$ .

#4

abgd έγραψε:Ο ορισμός της σταθερής συνάρτησης δεν αναφέρεται στα σχολικά βιβλία των μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου. Είναι μια απλή συνάρτηση και λογικό είναι να μην απαιτείται να δώσουμε έναν ξεχωριστό ορισμό, ο οποίος μάλλον θα μας περιόριζε στις "κινήσεις" μας παρά θα μας διευκόλυνε.
Είναι προφανές ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σ' ένα διάστημα $\Delta$ αν και μόνο αν $\forall x_1, x_2 \in \Delta$ με ισχύει .

Στην απόδειξη του θεωρήματος: "Έστω συνάρτηση ορισμένη σ' ένα διάστημα $\Delta$ . Αν η είναι συνεχής στο $\Delta$ και $f^{\prime}(x)=0$ για κάθε εσωτερικό σημείο του $\Delta$ τότε η είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα $\Delta$ ."
κάποιος μαθητής γράφει:
"Έστω $x_1, x_2 \in \Delta$ με . Η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο . Επομένως υπάρχει $\xi \in \(x_1,x_2)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}$ . Επειδή όμως το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος $\Delta$ θα είναι $f^{\prime}(\xi)=0$ οπότε . Άρα η συνάρτηση είναι σταθερή."

Είναι το θεώρημα στη σελίδα 251 του σχολικού βιβλίου της κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου το οποίο έχει την απόδειξη λίγο διαφορετικά, αφού διακρίνει περιπτώσεις για την διάταξη των .

Από τα 8 μόρια που βαθμολογείται η σωστή απάντηση στο ερώτημα πόσο πρέπει να βαθμολογηθεί η απόδειξη του μαθητή;

Παίρνω αρχικά την αφορμή με το ερώτημα αυτό να πω ότι και στην Ελλάδα πρέπει καμιά φορά να απαλλαχτούμε επιτέλους οριστικά από την εξέταση της θεωρίας στα μαθηματικά.

Στις Πανελλήνιες αυτό δεν έχει πολύτως κανένα νόημα.Πρόκειται για μια αγκύλωση δεκαετιών και πρέπει κάποια στιγμή να την αποτινάξουμε.Πρέπει να σκεφτούμε και για αυτό το θέμα, όπως και για τόσα άλλα, σοβαρά ως χώρα και να κάνουμε τις εξετάσεις ανθρώπινες .

Το πρώτο θέμα έπρεπε να έχει πχ 5 βασικές ασκήσεις ελέγχου δεξιοτήτων :

Υπολογισμός ενός απλού ορίου, εύρεση μιας εφαπτομένης, υπολογισμός ενός ολοκληρώματος, κλπ, ό,τι δηλαδή βασικό δεν εξετάζεται στα υπόλοιπα τρία θέματα.

Τώρα, όσον αφορά την απόδειξη του μαθητή, τη βρίσκω άψογη. Δηλαδή τι να αποδείξει ο μαθητής; Ότι κάθε πράγμα είναι ίσο με τον εαυτό του ; Tι παραπάνω κάνει το σχολικό παίρνοντας και την τετριμένη περίπτωση ;

Να πω επίσης ότι η απόδειξη του σχολικού βιβλίου δεν είναι η πιο καλή.Οι παλιότεροι θυμούνται ότι στην απόδειξη του θεωρήματος αυτού θεωρούσαμε ένα σταθερό σημείο x_0

του διαστήματος και με το ΘΜΤ στο διάστημα [x,x_0]

ή στο

για το τυχαίο $x\in \Delta$ βρίσκαμε ότι f(x)=f(x_0)

.

Aυτή ήταν η πιο απλή και κατανοητή απόδειξη .

Μπάμπης

abgd · #5

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Περίμενα περισσότερα σχόλια από τους συναδέλφους. Υπάρχουν συνάδελφοι που θα βαθμολογούσαν με 6 την απάντηση του μαθητή και θσ ήθελα να δω την επιχειρηματολογία τους.

Εγώ θα βαθμολογούσα με 8^+

την απόδειξη.

Ακόμη, θα πρότεινα το εξής: Στις συνέπειες του Θ.Μ.Τ. έχουμε τα θεωρήματα της σταθερής, της γνησίως αύξουσας και της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης.
Για τις αποδείξεις και των τριών αυτών βασικών θεωρημάτων ακολουθούμε την ίδια ακριβώς διαδικασία.

Θεώρημα

Έστω συνάρτηση ορισμένη σ' ένα διάστημα $\Delta$ . Αν η είναι συνεχής στο $\Delta$ και $\bf {f^{\prime}(x)=0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο του $\Delta$ τότε η είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα $\Delta$

Έστω συνάρτηση ορισμένη σ' ένα διάστημα $\Delta$ . Αν η είναι συνεχής στο $\Delta$ και $\bf {f^{\prime}(x)>0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο του $\Delta$ τότε η είναι γνησίως αύξουσα σ' όλο το διάστημα $\Delta$

Έστω συνάρτηση ορισμένη σ' ένα διάστημα $\Delta$ . Αν η είναι συνεχής στο $\Delta$ και $\bf{ f^{\prime}(x)<0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο του $\Delta$ τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σ' όλο το διάστημα $\Delta$

Απόδειξη

Έστω $x_1, x_2 \in \Delta$ με . Η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο . Επομένως υπάρχει $\xi \in \(x_1,x_2)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}$ .
Επειδή όμως το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος $\Delta$ θα είναι $\bf{f^{\prime}(\xi) \color{red}{.....} \color{black} 0 }$ οπότε $\bf{f(x_1) \color{red}{.....} \color{black} f(x_2) }$ . Άρα η συνάρτηση είναι ................. .

Προτείνω, εκεί που μπορούμε:
να κάνουμε πιο απλή τη διδασκαλία των μαθηματικών κάνοντάς τα ελκυστικότερα στο μαθητή και να μην απογοητεύουμε το μαθητή όταν μας δείχνει αυτή την απλότητα!

math246 · #6

Το σχολικό βιβλίο ορθότατα διακρίνει περιπτώσεις ,από την μία για να ορίζεται διάστημα στο θεώρημα μέσης τιμής και από την άλλη για να καλύψει όλο το πεδίο ορισμού.

Σταθερή συνάρτηση - Ερώτηση.

Σταθερή συνάρτηση - Ερώτηση.

Re: Σταθερή συνάρτηση - Ερώτηση.

Re: Σταθερή συνάρτηση - Ερώτηση.

Re: Σταθερή συνάρτηση - Ερώτηση.

Re: Σταθερή συνάρτηση - Ερώτηση.

Re: Σταθερή συνάρτηση - Ερώτηση.

Μέλη σε σύνδεση