Aνισότητα

jim.jt · #1

Μια ανισότητα που βρήκα σήμερα και μου άρεσε:

$\displaystyle \frac{a}{3a^2+b^2+2ac}+\frac{b}{3b^2+c^2+2ab}+\frac{c}{3c^2+a^2+2bc}\leq \frac{3}{2(a+b+c)}$

gavrilos · #2

Γεια σου Δημήτρη και καλησπέρα σε όλους!

Προφανώς $\displaystyle{a^{2}+b^{2}\geq 2ab}}$ .

Οπότε $\displaystyle{\sum_{cyc} \frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}=\sum_{cyc} \frac{a}{(a^{2}+b^{2})+2a^{2}+2ac}\leq \sum_{cyc} \frac{a}{2a^{2}+2ab+2ac}=\sum_{cyc}\frac{1}{2a+2b+2c}=\frac{3}{2(a+b+c)}$ .

G.Bas · #3

Ας αποδείξουμε επίσης πως

$\displaystyle{\frac{a}{3a^2+b^2+2bc}+\frac{b}{3b^2+c^2+2ca}+\frac{c}{3c^2+a^2+2ab}\leq\frac{ab+bc+ca}{6abc}.}$

#4

Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{ \frac{a}{3a^2 + b^2 + 2bc} \leqslant \frac{ab+2ac}{18abc}}$

αφού μετά προσθέτοντας κυκλικά έχουμε το ζητούμενο.

Ισοδύναμα, θέλουμε $\displaystyle{ 3a^3b + 6a^3c + ab^3 + 4ab^2c + 4abc^2 \geqslant 18a^2bc }$

Αυτό είναι άμεση συνέπεια της ΑΜ-ΓΜ.

[Το ab+2ac

το βρήκα δοκιμάζοντας $\lambda ab + (3-\lambda)ac$ και παίρνοντας το κατάλληλο $\lambda$ ώστε να δουλεύει η ΑΜ-ΓΜ.]

G.Bas · #5

Καλημέρα Δημήτρη!

Ευχαριστώ που ασχολήθηκες. Ωραία η ιδέα σου. Ας βάλω και τον τρόπο που την κατασκεύασα.

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα AM-GM

$\displaystyle{3a^2+b^2+2bc=(a^2+b^2)+2(a^2+bc)\geq 2ab+4a\sqrt{bc}=2(ab+2a\sqrt{bc})\geq 6\sqrt[3]{a^3b^2c}=\frac{6abc}{\sqrt[3]{bc^2}}.}$

Οπότε έχουμε πως

$\displaystyle{\frac{a}{3a^2+b^2+2bc}\leq\frac{a\sqrt[3]{bc^2}}{6abc}.}$ Δηλαδή

$\displaystyle{\sum\frac{a}{3a^2+b^2+2bc}\leq\frac{1}{6abc}\cdot\sum a\sqrt[3]{bc^2}.}$ Αλλά από την Ανισότητα AM-GM θα έχουμε

$\displaystyle{\sum a\sqrt[3]{bc^2}=\sum\sqrt[3]{a^3bc^2}\leq\frac{1}{3}\sum (ab+2ac)=ab+bc+ca.}$

Οπότε $\displaystyle{\sum\frac{a}{3a^2+b^2+2bc}\leq\frac{ab+bc+ca}{6abc}.}$

jim.jt · #6

Ισχύει επίσης:

$\displaystyle (ab+bc+ca)(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\cdot \sqrt[3]{abc}=9abc\Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{ab+bc+ca}{3abc}\geq \frac{3}{a+b+c}\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{6abc}\geq \frac{3}{2(a+b+c)}$

δηλαδή:

$\displaystyle \frac{ab+bc+ca}{6abc}\geq \frac{3}{2(a+b+c)}\geq \frac{a}{3a^2+b^2+2ac}+\frac{b}{3b^2+c^2+2ab}+\frac{c}{3c^2+a^2+2bc}$

(Απλά την αρχική ανισότητα την κρατώ ίδια και δεν αλλάζω το 2ac

με το

.)

Aνισότητα

Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Μέλη σε σύνδεση