Ισόπλευρο στο πλέγμα

#1

Υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με τις κορυφές του σε τετραγωνικό πλέγμα (square grid);

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

Υποθέτουμε ότι το τετραγωνικό πλέγμα είναι το ορθοκανονικό σύστημα, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Ας είναι $\displaystyle{A_i(x_i,y_i),~i=1,2,3}$ οι κορυφές του τριγώνου, με $\displaystyle{x_i,y_i\in \mathbb{Z}.}$

Από τη σχέση

$\displaystyle{(A_1A_2A_3)=\frac{1}{2}\Big|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{array}} \right|\Big|}$

φαίνεται ότι $\displaystyle{(A_1A_2A_3)\in \mathbb{Q}.}$

Εξάλλου,

$\displaystyle{(A_1A_2A_3)=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\notin \mathbb{Q},}$

αφού $\displaystyle{a^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\in \mathbb{Z}.}$

Άρα δεν είναι δυνατόν να υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές σε τετραγωνικό πλέγμα.

#3

Ισχύει το γενικότερο αποτέλεσμα:

Το μοναδικό κανονικό πολύγωνο του οποίου οι κορυφές είναι κόμβοι ενός τετραγωνικού πλέγματος είναι το τετράγωνο.

(Η απόδειξη αργότερα, αν δεν ασχοληθεί κάποιος...)

Ανδρέας Πούλος · #4

Μία άλλη προσέγγιση, με ολίγη Τριγωνομετρία.
Προϋποθέτει τον τύπο tan(a-b)=

$\frac{tena -tanb}{1+tanatanb}$ , ο οποίος ευτυχώς μάλλον θα επανέλθει στην ύλη της Β Λυκείου.
Στο συνημμένο σχήμα, έστω το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο και οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι σημεία του πλέγματος, δηλαδή είναι ακέραιοι αριθμοί.
Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

, άρα οι συντεταγμένες του είναι ρητοί αριθμοί, (από τον τύπο του μέσου).
Η γωνία MAC

είναι 30ο. Με τα σύμβολα

και

συμβολίζουμε τις γωνίες που σχηματίζουν οι

και

αντίστοιχα με τον άξονα xx'

.
Επειδή

, άρα

.
Συνεπώς, θα πρέπει να ισχύει $\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{tanb -tana}{1+tabtana}$ .
Αυτό είναι άτοπο, διότι το αριστερό μέλος της ισότητας είναι άρρητος αριθμός και το δεξί μέλος ρητός ως πηλίκο ρητών και ακεραίων.

Ανδρέας Πούλος

#5

gbaloglou έγραψε:Υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο με τις κορυφές του σε τετραγωνικό πλέγμα (square grid);

Γιώργος Μπαλόγλου

Έτσι για την ιστορία :

Ο Γιώργος μπορεί να μην ήταν τότε στην Ελλάδα, αλλά αν θυμάμαι καλά, το ερώτημα αυτό είχε τεθεί και στο Διαγωνισμό της ΕΜΕ ή είχε γραφεί στον Ευκλείδη Β'

στη στήλη των διαγωνισμών( επί Κοντογιάννη ακόμα) τη δεκαετία του 1980 .

Ωραίο ερώτημα πάντως και πρωτότυπο στην εποχή του !

Ήταν η εποχή που το υπέροχο μαθηματικό ολυμπιακό πνεύμα της ...Ανατολής άρχιζε να εξάγεται από την πρώην Σοβιετική ένωση προς τη Δύση :

Συνδυαστική γεωμετρία, αναλοίωτα, Θεωρία παιγνίων, στρατηγικές κλπ

( Σε τέτοια βιβλία δίναμε εκείνη την εποχή ως νέοι καθηγητές όλα μας τα λεφτά -και που να τα βρούμε ; - Άλλο τώρα που όλα αυτά τα βιβλία , με εκατοντάδες άλλα , βρίσκονται άφθονα τελείως δωρεάν στο δίκτυο , αλλά συγκινούν ελάχιστους !)

panos1962 · #6

Υπάρχει, πάντως, και η πολύ κομψή απόδειξη με βάση το θέωρημα του Pick που λέει ότι κάθε πολύγωνο του οποίου οι κορυφές βρίσκονται σε κόμβους τετραγωνικού πλέγματος διαστάσεως 1 έχει εμβαδόν:

$M + \frac{N}{2} - 1$

όπου M είναι το πλήθος των κόμβων εντός του πολυγώνου και N είναι το πλήθος των κόμβων του πολυγώνου επί της περιμέτρου (συμπεριλαμβανομένων των κορυφών).
Με βάση, λοιπόν, το θέωρημα του Pick το εμβαδόν του τριγώνου είναι ρητός αριθμός.

Από την άλλη γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του ισοπλεύρου είναι:

$\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

όπου a είναι η πλευρά του τριγώνου.
Το $a^{2}$ , όμως, είναι ακέραιος εφόσον οι κορυφές είναι κόμβοι του πλέγματος (πυθαγόρειο), ενώ ο $\sqrt{3}$ είναι άρρητος, επομένως το εμβαδόν του τριγώνου είναι άρρητος αριθμός, όπερ άτοπον.

Ισόπλευρο στο πλέγμα

Ισόπλευρο στο πλέγμα

Re: Ισόπλευρο στο πλέγμα

Re: Ισόπλευρο στο πλέγμα

Re: Ισόπλευρο στο πλέγμα

Re: Ισόπλευρο στο πλέγμα

Re: Ισόπλευρο στο πλέγμα

Μέλη σε σύνδεση