Μιγαδικοί 98

mathxl · #1

Έστω $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$ τέτοιοι ώστε: |z_1| = |z_2| = |z_3| = 1

,

και

. Να αποδείξετε ότι z_1 = z_2 = z_3

.

ΥΓ:Η δική μου λύση αλλά και του Βαγγέλη που μου στάλθηκε σε πμ δεν χρησιμοποιούν το γινόμενο. Ωστόσο την πόσταρα όπως την βρήκα. Η λύση που είδα είχε τριγωνομετρική μορφή ή εκθετική...δεν θυμάμαι.

#2

$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1z_2z_3(\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}+\dfrac{1}{z_3})=\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}=3$

Οι z_1,z_2,z_3

είναι οι λύσεις της εξίσωσης (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)=0.

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την z^3-(z_1+z_2+z_3)z^2+(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)z-z_1z_2z_3=0

δηλαδή ισοδύναμη της z^3-3z^2+3z-1=0

και τελικά της (z-1)^3=0

που έχει μοναδική λύση το 1.

Άρα z_1=z_2=z_3=1.

BAGGP93 · #3

Γεια σας.

Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z_{i}\,,i\in\left\{1,2,3\right\}}$ είναι σημεία του μοναδιαίου κύκλου,

οπότε $\displaystyle{-1\leq Re(z_{i})\leq 1}$ .

Αν υπήρχε $\displaystyle{i\in\left\{1,2,3\right\}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{-1\leq Re(z_{i})<1}$ , τότε

$\displaystyle{-3\leq Re(z_{1})+Re(z_{2})+Re(z_{3})<3\implies Re(z_1+z_2+z_3)<3\implies 3<3}$ , άτοπο.

Συνεπώς, $\displaystyle{Re(z_1)=Re(z_2)=Re(z_3)=1\implies z_1=z_2=z_3=1}$ .

#4

mathxl έγραψε:Έστω $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$ τέτοιοι ώστε: , και . Να αποδείξετε ότι .

ΥΓ:Η δική μου λύση αλλά και του Βαγγέλη που μου στάλθηκε σε πμ δεν χρησιμοποιούν το γινόμενο. Ωστόσο την πόσταρα όπως την βρήκα. Η λύση που είδα είχε τριγωνομετρική μορφή ή εκθετική...δεν θυμάμαι.

Καλησπέρα.

Τελικά οι αριθμοί είναι πραγματικοί.

$\displaystyle{\overline {{z_1} + {z_2} + {z_3}} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{{z_1}{z_2} + {z_1}{z_3} + {z_2}{z_3}}}{{{z_1}{z_2}{z_3}}} = 3 \Leftrightarrow }$

$\boxed{{z_1}{z_2} + {z_1}{z_3} + {z_2}{z_3} = 3}$ .
Άρα από τους τύπους Vieta,οι z_1,z_2, z_3

είναι ρίζες της εξίσωσης:

$\displaystyle{{z^3} - ({z_1} + {z_2} + {z_3}){z^2} + \left( {{z_1}{z_2} + {z_1}{z_3} + {z_2}{z_3}} \right)z - {z_1}{z_2}{z_3} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{z^3} - 3{z^2} + 3z - 1 = 0 \Leftrightarrow {(z - 1)^3} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{{z_1} = {z_2} = {z_3} = 1}$

Μόλις είδα ότι με πρόλαβε ο Παύλος με την ίδια ακριβώς λύση. Το αφήνω για τον κόπο

mathxl · #5

Δίνω και την δική μου λύση που δεν χρησιμοποιεί και αυτή την συνθήκη γινομένου.
Είναι
$\displaystyle{{z_1} + {z_2} + {z_3} = 3 \Rightarrow {z_1} + {z_2} = 3 - {z_3}}$ .
Άρα
$3 - \left| {{z_3}} \right| \leqslant \left| {3 - {z_3}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \leqslant \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| \Rightarrow 2 \leqslant \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \leqslant 2 \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2$
Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων (το προτιμώ από τον κανόνα παρ. αφού το βρίσκω εκφραστικά πιο κοντά σε αυτά που ξέρουν(;) οι μαθητές), έχουμε:

${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2{\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow 4 + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 0 \Leftrightarrow {z_1} = {z_2}$
όμοια προκύπτει ${z_2} = {z_3}$ .
Διέγραψα από την εκφώνηση στα δεδομένα, το γινόμενο. Οι αλλαγές αφορούν το αρχείο.

#6

mathxl έγραψε:Έστω $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$ τέτοιοι ώστε: , και . Να αποδείξετε ότι .

ΥΓ:Η δική μου λύση αλλά και του Βαγγέλη που μου στάλθηκε σε πμ δεν χρησιμοποιούν το γινόμενο. Ωστόσο την πόσταρα όπως την βρήκα. Η λύση που είδα είχε τριγωνομετρική μορφή ή εκθετική...δεν θυμάμαι.

Είναι άμεσο από την ταυτότητα:

$\displaystyle{|z_1-z_2|^2+|z_2-z_3|^2+|z_3-z_1|^2+|z_1+z_2+z_3|^2=3(|z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2)...}$

Θεοδωρος Παγωνης · #7

Μια ακόμη λύση χωρίς την χρήση της υπόθεσης $\displaystyle{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}=1}$ .

Επειδή $\displaystyle{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=3}$ θα είναι $\displaystyle{|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}|=3}$ .
Θεωρώντας $\displaystyle{A({{z}_{1}})}$ , $\displaystyle{B({{z}_{2}})}$ , $\displaystyle{D({{z}_{3}})}$ έχουμε :
$\displaystyle{|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}|=3\Leftrightarrow |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|=3\Leftrightarrow |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}{{|}^{2}}=9\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}+{{\overrightarrow{OD}}^{2}}+2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OA}=9\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{3+2\overrightarrow{|OA}||\overrightarrow{OB}|\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})+2\overrightarrow{|OB}||\overrightarrow{OD}|\cos (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD})+2\overrightarrow{|OD}||\overrightarrow{OA}|\cos (\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OA})=9\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{2\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})+2\cos (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD})+2\cos (\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OA})=6\Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})+\cos (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD})+\cos (\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OA})=3}$ .
Οπότε $\displaystyle{\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=1}$ και $\displaystyle{\cos (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD})=1}$ και $\displaystyle{\cos (\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OA})=1}$ .
Επομένως τα διανύσματα είναι ομόρροπα και επειδή έχουν ίσα μέτρα θα είναι ίσα , άρα $\displaystyle{{{z}_{1}}={{z}_{2}}={{z}_{3}}}$ .

Μιγαδικοί 98

Μιγαδικοί 98

Re: Μιγαδικοί 98

Re: Μιγαδικοί 98

Re: Μιγαδικοί 98

Re: Μιγαδικοί 98

Re: Μιγαδικοί 98

Re: Μιγαδικοί 98

Μέλη σε σύνδεση