IMC 2014/1/2

#1

Έστω η ακολουθία $\displaystyle{(a_n)_{n=1}^{+\infty}=(1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,\ldots)}$ .

Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών πραγματικών $(\alpha,\beta)$ ώστε $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}n^{-\alpha}\sum_{k=1}^{n}a_k=\beta}$ .

Zarifis · #2

Μια σύντομη λύση για το α.
Έχουμε ως δεδομένο ότι πρέπει να συγκλίνει οπότε ας πάρουμε μια υπακολουθία, ώστε να μπορούμε κάθε φορά να αθροίσουμε διαδοχικούς όρους. Άρα παίρνουμε ως υπακολουθεία ανα $\displaystyle{k(k + 1)/2}$ όρους.

Άρα έχουμε : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } O({n^{ - 2a}})\sum\limits_{k = 0}^n {k(k + 1)} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } O({n^{ - 2a}})O({n^3}) \Rightarrow \alpha = 3/2}$
Για να βρούμε το β απλά υπολογίζουμε τους όρους χρησιμοποιώντας της ταυτότητες:
$\displaystyle{\sum\limits_\iota \iota = n(n + 1)/2}$ και $\displaystyle{\sum\limits_\iota {{\iota ^2} = n(n + 1)(2n + 1)/6} }$ .

Nick1990 · #3

Σωστό αλλά πρέπει να δείξεις ότι όντως συγκλίνει μετά. Αλλά και αυτό εύκολο είναι. Πολύ υπολογιστικά τα 2 πρώτα και το 3 πολύ εύκολο για 3. Μάλλον ήθελαν να γλιτώσουν την περσινή κατρακύλα στα μετάλλια, αλλά πήγαν στο άλλο άκρο. Ελπίζω σε καλύτερα θέματα αύριο.

IMC 2014/1/2

IMC 2014/1/2

Re: IMC 2014/1/2

Re: IMC 2014/1/2

Μέλη σε σύνδεση