IMC 2014/2/1

[Nick1990]

Για κάθε θετικό ακέραιο , ορίζουμε να είναι το οστό ψηφίο του στη δεκαδική αναπαράσταση αυτού. Έστω ακολουθία θετικών ακεραίων, έτσι ώστε η ακολουθία να έχει μόνο πεπερασμένο πλήθος μηδενικών. Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι που δεν περιλαμβάνονται στην ακολουθία .

[Demetres]

Ή κάτι δεν κατάλαβα καλά ή είναι εντελώς τετριμμένο: Έστω ότι όλοι οι θετικοί ακέραιοι εκτός από ακριβώς περιέχονται στην ακολουθία και ότι η ακολουθία έχει ακριβώς μηδενικά. Παίρνω ακέραιο ώστε . Υπάρχουν φυσικοί με το πολύ ψηφία. Τουλάχιστον από αυτούς εμφανίζονται στην ακολουθία. Άρα τουλάχιστον από αυτούς είναι όροι της μορφής για . Για κάθε τέτοιο όρο όμως έχουμε οπότε η ακολουθία έχει τουλάχιστον μηδενικά, άτοπο.