Σύνθεση και συνέχεια

pito · #1

Καλημέρα

.

Μια συνάρτηση

είναι ορισμένη στο

και για κάθε

πραγματικό ισχύει f(f(x))+x=0

.
Γιατί η

δεν είναι συνεχής;

Καλή και δημιουργική σχολική χρονιά σε όλους!

#2

Προφανώς η συνάρτηση είναι $\displaystyle{1-1.}$ Αν ήταν και συνεχής, θα ήταν γνησίως μονότονη. Άρα η $\displaystyle{f(f(x))}$ θα ήταν γνησίως αύξουσα.
Άτοπο, αφού η $\displaystyle{-x}$ είναι γνησίως φθίνουσα.

pito · #3

Θάνο σε ευχαριστώ!

#4

Είναι πάντως βέβαιο ότι υπάρχει τέτοια μη συνεχής συνάρτηση; (Δεν έχω παράδειγμα, ούτε προσπάθησα να το βρω.)

Γιώργος Μπαλόγλου

#5

gbaloglou έγραψε:Είναι πάντως βέβαιο ότι υπάρχει τέτοια μη συνεχής συνάρτηση; (Δεν έχω παράδειγμα, ούτε προσπάθησα να το βρω.)

Ακολουθεί ένα παράδειγμα. Είναι τελείως εκτός σχολικής ύλης αλλά δεν έψαξα εντός. Καλοδεχούμενο οποιοδήποτε απλούστερο παράδειγμα.

Αρχίζουμε με μία βάση Hamel $\{e_ {r_i} / i\in I \}$ του $\mathbb R$ πάνω από το $\mathbb Q$ . Την γράφουμε στην μορφή $\{e_{h_i}, \, e_{k_i} / i\in I \}$ (γίνεται γιατί για άπειρους πληθάριθμους |I|

ισχύει $|I|=|I|\times |I|$ ).

Για $x\in \mathbb R$ με μοναδική γραφή $\displaystyle{x= \sum p_i e_{h_i} + \sum q_i e_{k_i} }$ θέτουμε $\displaystyle{f(x)= -\sum q_i e_{h_i} + \sum p_i e_{k_i} }$ . Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε ότι

$\displaystyle{f(f(x))= f\left ( -\sum q_i e_{h_i} + \sum p_i e_{k_i} \right )= -\sum p_i e_{h_i} - \sum q_i e_{k_i}=-x}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Αντώνης Πάπαρης · #6

Νομίζω ότι ένα απλούστερο παράδειγμα:

$\displaystyle{ x_1 \ne 0, x_2 \ne 0, x_1 \ne x_2}$ με

$\displaystyle{f(x_1) = x_2}$
$\displaystyle{f(x_2) = -x_1}$
$\displaystyle{f(-x_1) = -x_2}$
$\displaystyle{f(-x_2) = x_1}$

και $\displaystyle{ f(0) = 0}$

#7

Αντώνης Πάπαρης έγραψε:Νομίζω ότι ένα απλούστερο παράδειγμα:

x1 <> 0, x2 <> 0, x1 <> x2
f(x1) = x2
f(x2) = -x1
f(-x1) = -x2
f(-x2) = x1
και f(0) = 0

Με φόβο μήπως οι Γενικοί Συντονιστές σβήσουν το προηγούμενο (και μαζί του και το δικό μου) μήνυμα γιατί δεν είναι σε LATEX, γράφω έτσι και αλλιώς.

Σωστό το παράδειγμα. Το σκέφτηκα και ο ίδιος μόλις έστειλα το προηγούμενο. Χρειάζεται όμως μία ουσιαστική συμπλήρωση που δεν είμαι τόσο βέβαιος ότι είναι απλή για τον μαθητή: Πρέπει να δείξεις (πράγμα απλό αν ξέρεις πληθάριθμους) ότι το $\mathbb R - \{0\}$ γράφεται ως ένωση ξένων ανά δύο τετράδων αριθμών της μορφής $\{a, \, b, \, -a, \, -b \}$ με $a\ne b, \, a, b \ne 0$ . Αλλιώς η

δεν είναι καλά ορισμένη.

#8

Τελικά μία εντός-εντός ύλης:

Για $n \in \mathbb N$ ορίζουμε στο $[-2n-2,\, -2n) \cup (2n , \, 2n+2]$ την

$\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x+1 \text{ if } -2n -2 \le x < -2n-1 \\ -x+1 \text{ if }-2n-1\le x < -2n \\ -x-1 \text{ if } 2n<x \le 2n+1 \\ x-1 \text{ if } 2n+1 <x \le 2n +2 \end{cases}}$

Επίσης θέτουμε f(0)=0

.

Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο της τμήμα.

Εύκολα ελέγχουμε ότι f(f(x))=-x

σε καθένα από τα $[-2n-2,\, -2n) \cup (2n , \, 2n+2]$ . Και επειδή αυτά είναι ξένα και εξαντλούν το $\mathbb R-\{0\}$ , τελειώσαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#9

matha έγραψε:Προφανώς η συνάρτηση είναι $\displaystyle{1-1.}$ Αν ήταν και συνεχής, θα ήταν γνησίως μονότονη. Άρα η $\displaystyle{f(f(x))}$ θα ήταν γνησίως αύξουσα.
Άτοπο, αφού η $\displaystyle{-x}$ είναι γνησίως φθίνουσα.

…βρίσκοντας ενδιαφέρον στο παραπάνω θέμα δημοσιεύω μία απάντηση χωρίς χρήση εξωσχολικής πρότασης….

Έστω ότι η

συνεχής στο

. Επειδή ισχύει ότι f(f(0))=0

και άρα $f(f(f(0)))=f(0)\Rightarrow -f(0)=f(0)\Rightarrow f(0)=0$

οπότε

είναι μοναδική ρίζα της f(x)=0

λόγω του ότι η

είναι

, επομένως θα διατηρεί σταθερό πρόσημο

σε κάθε ένα από τα διαστήματα $(-\infty ,\,\,0),\,\,\,(0,\,\,+\infty )$ . Έτσι αν

$f(x)>0,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)\cup (0,\,\,+\infty )$ τότε για ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}$ θα ισχύει αφού $f({{x}_{1}})\ne f({{x}_{2}})$

λόγω του '1-1'

ότι $0=f(0)<f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ ή $0=f(0)<f({{x}_{2}})<f({{x}_{1}})$ και από Θ.Ε.Τ. θα υπάρχει

${{x}_{3}}\in (0,\,\,\,{{x}_{2}})$ ή ${{x}_{3}}\in ({{x}_{1}},\,\,0)$ που θα ισχύει ότι $f({{x}_{3}})=f({{x}_{1}})$ ή $f({{x}_{3}})=f({{x}_{2}})$

που είναι άτοπο λόγω του '1-1'

. Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν $f(x)>0,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)\cup (0,\,\,+\infty )$

Αν τώρα $f(x)>0,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)$ και $f(x)<0,\,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ τότε θα ισχύει συνδυάζοντας την υπόθεση ότι για x<0

αφού $f(x)>0\Rightarrow f(f(x))<0\Leftrightarrow -x<0\Leftrightarrow x>0$ που είναι άτοπο και όμοια καταλήγουμε σε άτοπο

αν $f(x)<0,\,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)$ και $f(x)>0,\,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ . Άρα η η

δεν συνεχής στο

.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σύνθεση και συνέχεια

Σύνθεση και συνέχεια

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση