Άσκηση στους μιγαδικούς

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5553
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Άσκηση στους μιγαδικούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 21, 2014 4:24 pm

Έστω z_1, \; z_2 \in \mathbb{C} με z_1z_2 \neq 0 τέτοιοι ώστε \displaystyle{z_12008^{\left | z_1 \right |}+z_2 2008^{\left | z_2 \right |}=\left ( z_1+z_2\right )2008^{\left | z_1+z_2 \right |}}.
  • α.Να δείξετε ότι \displaystyle{ \left | z_1+z_2 \right |=\left | z_1 \right |=\left | z_2 \right |} ή \displaystyle{ \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R}}.

    β. Αν τα σημεία O, \; A(z_1), \; B(z_2) δεν είναι συνευθειακά, τότε τα διανύσματα \displaystyle{ \overrightarrow{AB}\left ( z_2-z_1 \right ), \; \overrightarrow{O\Gamma}\left ( z_1+z_2 \right )} είναι κάθετα μεταξύ τους.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: Άσκηση στους μιγαδικούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Κυρ Σεπ 21, 2014 5:25 pm

\displaystyle{\begin{gathered} {\text{a}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{ }}z \cdot {\alpha ^{|Z|}} + w \cdot {\alpha ^{|W}} = (z + w){\alpha ^{|z + w|}} \Leftrightarrow \hfill \\ z\left( {{\text{ }}{\alpha ^{|Z|}} - {\alpha ^{|z + w|}}} \right) = w\left( {{\alpha ^{|z + w|}} - {\alpha ^{|w|}}} \right)\mathop {}\limits_{}^{} \Leftrightarrow \hfill \\ {\alpha ^{|Z|}} - {\alpha ^{|z + w|}} \ne 0\mathop {}\limits_{}^{} \left( { \Rightarrow \frac{Z}{W} = \frac{{{\alpha ^{|z + w|}} - {\alpha ^{|w|}}}}{{{\alpha ^{|Z|}} - {\alpha ^{|z + w|}}}} \in \mathbb{R}} \right) \hfill \\ \end{gathered} }
ή
\displaystyle{{\alpha ^{|Z|}} = {\alpha ^{|w|}} = {\alpha ^{|z + w|}}{\text{ }} \Rightarrow \left( {|z| = |w| = |z + w|} \right)}


Κορυφή
tolis riza
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Παρ Ιουν 17, 2011 9:38 pm

Re: Άσκηση στους μιγαδικούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tolis riza » Κυρ Σεπ 21, 2014 8:32 pm

Αν τα σημεία \displaystyle{{\rm O},{\rm A},{\rm B}} είναι συνευθειακά, τότε :\displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} = \rho \overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} }
και επομένως \displaystyle{z = \rho w} , δηλαδή \displaystyle{\frac{z}{w} \in \mathbb{R}}.
Συνεπώς \displaystyle{\frac{z}{w} \notin \mathbb{R}} και έτσι από το α. προκύπτει:
\displaystyle{|z| = |w| = |z + w|},
οπότε το \displaystyle{OA\Gamma B} είναι ρόμβος και άρα\displaystyle{O\Gamma \bot AB}


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες