Όρια στο άπειρο 2

Aladdin · #1

Aν $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } {\left( {1 + \frac{1} {\nu }} \right)^\nu } = e}$
α) να δείξετε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } {\left( {1 - \frac{1} {\nu }} \right)^\nu } = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\left( {\frac{k} {{k + 1}}} \right)^{k + 1}}}$
β) να δείξετε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } {\left( {1 - \frac{1} {\nu }} \right)^\nu } = \frac{1} {e}}$
γ) με τη βοήθεια των δύο προηγούμενων ερωτημάτων να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } \left( {\frac{{\nu !}} {{{\nu ^\nu }}}} \right)}$

#2

Όπως έγραψα και εδώ η άσκηση αυτή είναι σε όλα τα βιβλία Απειροστικού, και δεν έχει νόημα να αναμασάμε τα ίδια και τα ίδια. Σίγουρα δεν πρόκειται για άσκηση για τον ΦΑΚΕΛΟ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ.

Αν δεν την βρεις λυμένη (σχεδόν παντού) στην βιβλιογραφία ή αν δεν την καταφέρεις μόνος σου, εδώ είμαστε να σε βοηθήσουμε. Το καλύτερο όμως είναι τέτοιες ασκήσεις να τις παλεύεις μόνος, χωρίς την συνδρομή του φόρουμ.

Aladdin · #3

Το πρόβλημα που έχω είναι πως θα χρησιμοποιήσω τα δύο πρώτα ερωτήματα για το τρίτο

Aladdin · #4

Aladdin έγραψε:Το πρόβλημα που έχω είναι πως θα χρησιμοποιήσω τα δύο πρώτα ερωτήματα για το τρίτο και με τη βοήθεια κριτηρίου ισοσύγκλισης

#5

Aladdin έγραψε:Το πρόβλημα που έχω είναι πως θα χρησιμοποιήσω τα δύο πρώτα ερωτήματα για το τρίτο

Θα δώσω υπόδειξη:

Αν $\displaystyle { a_n= \frac {n!}{n^n}$ δείξε ότι $\displaystyle { \frac {a_{n+1}}{a_n} = \left ( \frac {n}{n+1}\right )^n \to \frac {1}{e} < 1$ . Από αυτό έπεται (πώς;) ότι $\displaystyle { a_n \to 0$ .

Αντώνης Πάπαρης · #6

Aladdin έγραψε:Το πρόβλημα που έχω είναι πως θα χρησιμοποιήσω τα δύο πρώτα ερωτήματα για το τρίτο και με τη βοήθεια κριτηρίου ισοσύγκλισης

Το $\displaystyle{\mathop {\frac{{\nu !}} {{{\nu ^\nu }}}}$ γράφεται ως γινόμενο $\displaystyle{\mathop {\frac{ 1 } {{{\nu }}} } * {\frac{ 2 } {{{\nu }}} * ... * {\frac{{\nu }} {{{\nu }}} }$

Επίσης σου έχει δώσει δύο όρια που και τα δύο τείνουν στο $\frac{1} {e}$
Μήπως το τρίτο όριο είναι το ίδιο? Μπορείς να συγκρίνεις τους όρους $\frac{k}{\nu}$ με τους όρους των άλλων ορίων?

Aladdin · #7

Ευχαριστώ για την βοήθεια, ψάχνω λύση με ισοσυγκλίνουσες συναρτήσεις.
Έτσι έχει ζητηθεί!

#8

Aladdin έγραψε:Ευχαριστώ για την βοήθεια, ψάχνω λύση με ισοσυγκλίνουσες συναρτήσεις.
Έτσι έχει ζητηθεί!

Άλλο γράφεις στην αρχική σου ερώτηση!

Aladdin έγραψε: γ) με τη βοήθεια των δύο προηγούμενων ερωτημάτων να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } \left( {\frac{{\nu !}}{{{\nu ^\nu }}}} \right)}$

Ας είναι.

Δίνω υπόδειξη και για λύση με ισοσυγκλίνουσες: Από ανισότητα Α.Μ.-Γ.Μ. έχουμε για $n\ge 2$

$\displaystyle{ 0\le \frac{n !}{n ^n} = \frac {1}{n} \cdot \frac {2}{n} \cdot ... \frac {n}{n} \le \left ( \frac {\frac {1}{n} + \frac {2}{n} + ... +\frac {n}{n} }{n} \right )^n = \left ( \frac {n+1}{2n} \right )^n \le \left ( \frac {3}{4} \right )^n }$

Όρια στο άπειρο 2

Όρια στο άπειρο 2

Re: Όρια στο άπειρο 2

Re: Όρια στο άπειρο 2

Re: Όρια στο άπειρο 2

Re: Όρια στο άπειρο 2

Re: Όρια στο άπειρο 2

Re: Όρια στο άπειρο 2

Re: Όρια στο άπειρο 2

Μέλη σε σύνδεση