Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}, \;\; x \in \mathbb{R}}$ .
α.Να δείξετε ότι για κάθε $y \in (0, 1)$ υπάρχει μοναδικό $t \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{y=\frac{e^t}{e^t+\sqrt{e}}}$ .
β.Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle{f\left ( \frac{1}{10} \right )+f\left ( \frac{2}{10} \right )+\cdots+f\left ( \frac{9}{10} \right )}$ .

Ch.Chortis · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}, \;\; x \in \mathbb{R}}$ .
α.Να δείξετε ότι για κάθε $y \in (0, 1)$ υπάρχει μοναδικό $t \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{y=\frac{e^t}{e^t+\sqrt{e}}}$ .
β.Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle{f\left ( \frac{1}{10} \right )+f\left ( \frac{2}{10} \right )+\cdots+f\left ( \frac{9}{10} \right )}$ .

Καλησπέρα Τόλη!
α.Παράτηρουμε ότι:
$0<\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}<\frac {e^x} {e^x}=1$
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε οτι η

είναι

Πράγματι, έστω ότι υπάρχουν x_1,x_2

τέτοια ώστε αν
$x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow \dfrac{e^{x_1}}{e^{x_1}+\sqrt{e}}=\dfrac{e^{x_2}}{e^{x_2}+\sqrt{e}} \Leftrightarrow e^{x_1}(e^{x_2}+\sqrt {e})=e^{x_2}(e^{x_1}+\sqrt {e}) \Leftrightarrow e^{x_1+x_2}+e^{x_1+\frac {1} {2}}=e^{x_2+x_1}+e^{x_2+\frac {1} {2}} \Leftrightarrow e^{x_1+\frac {1} {2}}=e^{x_2+\frac {1} {2}} \Leftrightarrow x_1+\dfrac {1}{2}=x_2+\dfrac {1}{2} \Leftrightarrow x_1=x_2$
,άτοπο.
β.Επιπλέον βλέπουμε ότι:
$f(\frac {10-a} {10})+f(\frac {a} {10})= \dfrac {e^{\frac {10-a}{10}}} {e^{\frac {10-a}{10}}+e^{\frac{1}{2}}}+\dfrac {e^{\frac {a}{10}}} {e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}}}=\dfrac {e^{\frac {10-a}{10}} ( e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})+e^{\frac {a}{10}} (e^{\frac {10-a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})} {(e^{\frac {10-a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})}=\dfrac {e^{\frac {10-a} {10}}(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})+e^{\frac{1}{2}}(e^{\frac {a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})} {(e^{\frac {10-a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})}=\dfrac {(e^{\frac {10-a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})}{(e^{\frac {10-a}{10}}+e{^\frac{1}{2}})(e^{\frac {a}{10}}+e^{\frac{1}{2}})}=1$
Άρα:
$f(\frac {1}{10})+f(\frac {2}{10})+...+f(\frac {9}{10})=\left(f(\frac {1}{10})+f(\frac {9}{10})\right)+...+\left(f(\frac {4}{10})+f(\frac {6}{10})\right)+f(\frac {5}{10})=1+1+1+1+f(\frac {1} {2})=4+\dfrac {e^{\frac {1}{2}}} {e^{\frac {1}{2}}+e^{\frac {1}{2}}}=4+\dfrac {1}{2}=\dfrac {9}{2}$
Ελπίζω να μην έκανα κάπου λάθος(είναι και η ώρα περασμένη...).

Tolaso J Kos · #3

Το $\displaystyle{1-1}$ μπορεί να το δείξει κάποιος και ως εξής:

$\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}=\frac{e^x+\sqrt{e}-\sqrt{e}}{e^x+\sqrt{e}}=1-\frac{\sqrt{e}}{e^x+\sqrt{e}}}$

Οπότε η

είναι γνήσια αύξουσα... και τα λοιπά.

Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

Re: Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

Re: Ύπαρξη-Συνάρτηση-Άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση